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1定義

設f:(a,+∞)→R是一個一元實值函數,a∈R.如果對於任意給定的ε>0,存在正數X,使得對於適合不等式x>X的一切x,所對應的函數值f(x)都滿足不等式.
│f(x)-A│<ε ,
則稱數A為函數f(x)當x→+∞時的極限,記作
f(x)→A(x→+∞).
例y=1/x,x→+∞時極限為y=0
函數極限是高等數學最基本的概念之一,導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。
極限符號可記為lim

2概念

函數極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,,而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x→Xo 的極限為例,f(x) 在點Xo 以A為極限的定義是: 對於任意給定的正數ε(無論它多麼小),總存在正數δ ,使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時,對應的函數值f(x)都滿足不等式: |f(x)-A|<ε ,那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。
問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ,在這一過程中會用到一些不等式技巧,例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中,更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。
函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和複合函數的極限等等。如函數極限的唯一性(若極限 存在,則在該點的極限是唯一的)

3存在準則

有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得,需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。
1.夾逼定理:(1)當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域,有個符號打不出)時,有g(x)≤f(x)≤h(x)成立
(2)g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼,f(x)極限存在,且等於A
不但能證明極限存在,還可以求極限,主要用放縮法。
2.單調有界準則:單調增加(減少)有上(下)界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂,然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ,並且要滿足極限是趨於同一方向 ,從而證明或求得函數 的極限值。
3.柯西準則
數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時,都有|am-an|<ε成立。

4方法

利用函數連續性:lim f(x) = f(a) x->a
(就是直接將趨向值帶出函數自變數中,此時要要求分母不能為0)
②恆等變形
當分母等於零時,就不能將趨向值直接代入分母,可以通過下面幾個小方法解決:
第一:因式分解,通過約分使分母不會為零。
第二:若分母出現根號,可以配一個因子使根號去除。
第三:以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的,如果趨向於無窮,分子分母可以同時除以自變數的最高次方。(通常會用到這個定理:無窮大的倒數為無窮小)
當然還會有其他的變形方式,需要通過練習來熟練。
③通過已知極限
特別是兩個重要極限需要牢記。
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