標籤:分數

把單位「1」平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫分數。表示這樣的一份的數叫分數單位。分數也有「成績」的意思,如考試分數。

1簡介

1.數學名詞。表示是一個單位的幾分之幾的數。
2.評定成績或勝負時所記分的數目。
甘鐵生《「現代派」茶館》:「我們考,憑分數,憑本事。」
3.規定人數,分任職務。指軍隊的組織編製。
《孫子·勢篇》:「凡治眾如治寡,分數是也。」李贄註:「分,謂偏裨卒伍之分;數,謂十百千萬之數各有統制,而大將總其綱領。」《淮南子·本經訓》:「計人多少眾寡,使有分數。築城掘池,設機械險阻以為備。」《晉書·孝友傳·庾袞》:「分數既明,號令不二。」
4. 指區分部署。
《晉書·傅玄傳》:「農以豐其食,工以足其器,商賈以通其貨。故雖天下之大,兆庶之眾,無有游手。分數之法,周備如此。」
5.數量;程度。
唐元稹《中書省議賦稅及鑄錢等狀》:「臣等約計天下百姓有銅器用度者,分數無多,散納諸使,斤兩蓋寡。」 宋王安中《清平樂·和晁倅》詞:「花時微雨,未減春分數。」
6.指比例。
宋蘇轍《乞廢忻州馬城池鹽狀》:「其鹽夾硝,味苦,人不願買。故自四五年來作分數抑賣與鋪戶。」
7.法度;規範。
《三國志·魏志·劉劭傳》:「文學之士嘉其推步詳密,法理之士明其分數精比。」 三國 魏 劉劭 《人物誌·接識》:「法制之人,以分數為度,故能識較方直之量,而不貴變化之術。」 明謝肇淛《五雜俎·人部一》:「它如管輅之卜,華佗之醫……莫不皆然,後人失其分數,思議不及,遂加傅會,以為神授。」
8.猶天命,天數。
明徐渭《又啟諸南明侍郎》:「伏念 渭 小人,立身無狀,墮囚有年,等諸分數,愛欲其生不勝惡欲其死之多。」《醒世姻緣傳》第二八回:「誰知這人生在世,原來不止於一飲一啄都有前定,就是燒一根柴,使一碗水,也都有一定的分數。」

2數學術語

性質
2 →分子
-→分數線
3→分母
讀作:三分之二
寫作:
2
———
3
分數中間的一條橫線叫做分數線,分數線上面的數叫做分子,分數線下面的數叫做分母。
分數
讀作幾分之幾。
分數可以表述成一個除法算式:如二分之一等於1除以2。其中,1 分子等於被除數,- 分數線等於除號,2 分母等於除數,而0.5分數值則等於商。
分數還可以表述為一個比,例如;二分之一等於1:2,其中1分子等於前項,一 分數線等於比號,2分母等於後項,而0.5分數值則等於比值。分數的基本性質:分數的分子和分母都乘以或都除以同一個不為零的數,所得到的分數與原分數的大小相等。a/b=a/b=a:b(b不等於零)
分數還有一個有趣的性質:一個分數不是有限小數,就是無限循環小數,像π等這樣的無限不循環小數,是不可能用分數代替的。
分數的另一個性質是:當分子與分母同時乘或除以相同的數(0除外),分數值不會變化。因此,每一個分數都有無限個與其相等的分數。利用此性質,可進行約分與通分。

3分數單位

最大的分數單位是
\frac{1}{2}
,並非
\frac{1}{1}
,由分數的意義,「一個物體,一些物體都可以看作一個整體,把這個整體『單位1』平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。「分數是在測量,分物或計算中不能得到整數時產生的,所以這裡的「若干份」應該是大於或等於2的自然數。

4分數起源

名稱起源
為什麼叫它分數呢?分數這個名稱直觀而生動地表示這種數的特徵。例如,一個西瓜四個人平均分,不把它分成相等的四塊行嗎?從這個例子就可以看出,分數是度量和數學本身的需要--除法運算的需要而產生的。
分數化小數
最簡分數化小數是先看分母的素因數有哪些,如果只有2和5,那麼就能化成有限小數,如果不是,就不能化成有限小數。不是最簡分數的一定要約分方可判斷。
分類
分數的三種類型:真分數,假分數,帶分數。
外國
在許多民族的古代文獻中都有關於分數的記載和各種不同的分數制度。早在公元前2100多年,古代巴比倫人(現處伊拉克一帶)就使用了分母是60的分數。
公元前1850年左右的埃及算學文獻中,也開始使用分數,不過那時候古埃及的分數只是分數單位。
詳細介紹
一個物體,一個圖形,一個計量單位,都可看作單位「1」。把單位「1」平均分成幾份,表示這樣一份或幾份的數叫做分數。在分數里,表示把單位「1」平均分成多少份的叫做分母,表示有這樣多少份的叫做分子;其中的一份叫做分數單位。
要了解小數的意義,可從分數的意義著手,分數的意義可從子分割及合成活動來解釋,當一個整體(指基準量)被等分后,在集聚其中一部分的量稱為「分量」,而「分數」就是用來表示或紀錄這個「分量」。例如:2/5是指一個整數被分成五等分后,集聚其中二分的「分量」。當整體被分成十等分、百等分、千等分……等時,此時的分量,就使用另外一種紀錄的方法-小數。例如1/10記成0.1、2/100記成0.02、5/1000記成0.005……等。其中的「 . 」稱之為小數點,用以分隔整數部分與無法構成整數的小數部分。整數非0者稱為帶小數,若為0則稱純小數。由此可知,小數的意義是分數意義的一環。
分子與分母同時乘或除以一個相同的數(0除外),分數的大小不變.這就是分數的基本性質。
算籌是中國古代的計算工具,真正意義上的中國古代數學體系形成於自西漢至南北朝的三、四百年期間。《算數書》成書於西漢初年,是傳世的中國最早的數學專著,它是1984年由考古學家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發現的。《周髀算經》編纂於西漢末年,它雖然是一本關於「蓋天說」的天文學著作,但是包括兩項數學成就--(1)勾股定理的特例或普遍形式(「若求邪至日者,以日下為句,日高為股,句股各自乘,並而開方除之,得邪至日。」--這是中國最早關於勾股定理的書面記載);(2)測太陽高或遠的「陳子測日法」。
《九章算術》標誌以籌算為基礎的中國古代數學體系的正式形成。
中國古代數學在三國及兩晉時期側重於理論研究,其中以趙爽與劉徽為主要代表人物。
趙爽學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中,他還用幾何方法證明了勾股定理,其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則註釋了《九章算術》,其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導,而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理,並且多有創造。其發明的「割圓術」(圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積),為圓周率的計算奠定了基礎,同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250(3.1416)」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中,劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外,《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著。
南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期,計有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世。
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理,在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載,其著作《綴術》(已失傳)取得如下成就:①圓周率精確到小數點后第六位,得到3.1415926<π<3.1415927,並求得π的約率為22/7,密率為355/113,其中密率是分子分母在1000以內的最佳值;歐洲直到16世紀德國人鄂圖(Otto)和荷蘭人安托尼茲(Anthonisz)才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式,並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等(「冪勢既同則積不容異」)定理;歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利(Cavalieri)才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。
隋唐時期的主要成就在於建立中國數學教育制度,這大概主要與國子監設立算學館及科舉制度有關。在當時的算學館《算經十書》成為專用教材對學生講授。《算經十書》收集了《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等10部數學著作。所以當時的數學教育制度對繼承古代數學經典是有積極意義的。
公元600年,隋代劉焯在制訂《皇極曆》時,在世界上最早提出了等間距二次內插公式;唐代僧一行在其《大衍曆》中將其發展為不等間距二次內插公式。
從公元11世紀到14世紀的宋、元時期,是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期,其表現是這一時期湧現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界範圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。
賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」,同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現;賈憲的二項式定理係數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。 秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年,他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣,論述了高次方程的數值解法,並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法(最高為十次方程)。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外,秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。
李冶於1248年發表《測圓海鏡》,該書是首部系統論述「天元術」(一元高次方程)的著作,在數學史上具有里程碑意義。尤其難得的是,在此書的序言中,李冶公開批判輕視科學實踐活動,將數學貶為「賤技」、「玩物」等長期存在的士風謬論。
公元1261年,南宋楊輝(生卒年代不詳)在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」,介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年,元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時,列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當於球面三角的兩個公式。
公元1303年,元代朱世傑(生卒年代不詳)著《四元玉鑒》,他把「天元術」推廣為「四元術」(四元高次聯立方程),並提出消元的解法,歐洲到公元1775年法國人別朱(Bezout)才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究,在此基礎上得出了高次差的內插公式,歐洲到公元1670年英國人格里高利(Gregory)和公元1676一1678年間牛頓(Newton)才提出內插法的一般公式。
14世紀中、後葉明王朝建立以後,統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度,在國家科舉考試中大幅度消減數學內容,於是自此中國古代數學便開始呈現全面衰退之勢。
明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為,珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。
由於演算天文曆法的需要,自16世紀末開始,來華的西方傳教士便將西方一些數學知識傳入中國。數學家徐光啟向義大利傳教士利馬竇學習西方數學知識,而且他們還合譯了《幾何原本》的前6卷(1607年完成)。徐光啟應用西方的邏輯推理方法論證了中國的勾股測望術,因此而撰寫了《測量異同》和《勾股義》兩篇著作。鄧玉函編譯的《大測》〔2卷〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷〕是介紹西方三角學的著作。
此外在數學方面鮮有較大成就取得,中國古代數學自此便衰落了。
數學知識的原始積累
數學知識伴隨著人類文明的產生而起源,並率先在幾個文明古國開始了漫長的原始積累過程,人類的祖先為我們留下了珍貴的、可供研究的原始資料,最著名的古埃及象形文字紙草書和巴比倫楔形文字泥板書,較為集中地反映了古埃及數學和巴比的水平,它們被視為人類早期數學知識積累的代表。
古埃及紙草書,是用尼羅河流域沼澤地水生植物的莖皮壓制、粘連成紙草卷,用天然塗料液書寫而成的。有兩份紙草書直接書寫著數學內容。一份叫做「莫斯科紙草」,大約出自公元前1850年左右,它包括25個數學問題。這份紙草書於1893年被俄國人戈蘭尼采夫買得,也稱之為「戈蘭尼采夫紙草」,現藏莫斯科美術博物館。另一份叫做「萊因特紙草」,大約成書於公元前1650年左右,開頭寫有:「獲知一切奧秘的指南」的字樣,接著是作者阿默士從更早的文獻中抄下來的85個數學問題。這份紙草書於1858年被格蘭人萊因特購得,後為博物館收藏。這兩份草書是我們研究古埃及數學的重要資料,其內容豐富,記述了古埃及的記數法、整數四則運算、單位分數的獨特用法、試位法、求幾何圖形的面積、體積問題,以及數學在生產、生活中的應用問題。
古巴比倫泥板書,是用截面呈三角形的利器作筆,在將干未乾的膠泥板上刻寫而成的,由於字體為楔形筆劃,故稱之為楔形文字泥板,從19世紀前期至今,相繼出土了這種泥板有50萬塊之多。它們分別屬於公元前2100年蘇美爾文化末期,公元前1790年至公元前1600年間漢莫拉比時代和公元前600年至公元300年間新巴比倫帝國及隨後的波斯、塞流西得時代。其中,大約有300至400塊是數學泥板,數學泥板中又以數表居多,據信這些數學表是用來運算和解題的。這些古老的泥板,散藏於世界各地許多博物館,並且被一一編號,成為我們研究巴比倫數學最可靠的資料。巴比倫數學從整體上講比古埃及數學高明,古巴比倫人採用60進位制記數法,並計算出倒數表、平方表、立方表、平方根表和立方根表,其中2的平方根近似為1.414213...。巴比倫的代數有相當水平,他們用語言文字敘述方程問題及其解法,常用特殊的「長」、「寬」、「面積」等字眼表示未知量,除求解二次、三次方程的問題之外,也有一些數論性質的問題。巴比倫的幾何似乎沒有古埃及的幾何那麼重要,只是收羅了一些計算簡單圖形的面積、體積的法則,也許他們只是在解決實際問題時才搞點幾何。此外,巴比倫數學中有很明顯的商業、農業和天文的應用背景。
我們可以說,在人類早期數學知識積累過程中,由於計數物件的需要,產生了自然數,隨著記數法的產生和發展,逐漸形成了運算,導致算術的產生;由於計量實物的需要,產生了簡單的幾何,隨著農業、建築業、手工業及天文觀測的發展,逐漸積累了有關這些的基本性質和相互關係的經驗知識,於是幾何學萌芽了;由於商業計算、工程計算、天文的需要,在算術計算技巧的基礎上,逐漸積累起代數學基本知識。但是,在這個階段上,直到公元前6世紀,無論如何也找不到我們今天所謂的「理性的數學」,而只是一種初級的「經驗的數學」。
表示一個多位數字時,採用十進位值制,各位值的數目從左到右排列,縱橫相間〔法則是:一縱十橫,百立千僵,千、十相望,萬、百相當〕,並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。
在幾何學方面《史記.夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具,並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理〔西方稱畢氏定理〕的特例。戰國時期,齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範,包含了一些測量的內容,並涉及到一些幾何知識,例如角的概念。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展,一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題,例如:「圓,一中同長也」、「平,同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題,強調抽象的數學思想,例如「至大無外謂之大一,至小無內謂之小一」、「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想,但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。
此外,講述陰陽八卦,預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽,並反映出二進位的思想。
宋元全盛時期
唐朝亡后,五代十國仍是軍閥混戰的繼續,直到北宋王朝統一了中國,農業、手工業、商業迅速繁榮,科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀〔宋、元兩代〕,籌算數學達到極盛,是中國古代數學空前繁榮,碩果累累的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作,列舉如下:賈憲的《黃帝九章演算法細草》〔11世紀中葉〕,劉益的《議古根源》〔12世紀中葉〕,秦九韶的《數書九章》〔1247〕,李冶的《測圓海鏡》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕,楊輝的《詳解九章演算法》〔1261〕、《日用演算法》〔1262〕和《楊輝演算法》〔1274-1275〕,朱世傑的《算學啟蒙》〔1299〕和《四元玉鑒》〔1303〕等等。
高次方程數值解法; 天元術與四元術,即高次方程的立法與解法,是中國數學史上首次引入符號,並用符號運算來解決建立高次方程的問題;
大衍求一術,即一次同餘式組的解法,稱為中國剩餘定理;
招差術和垛積術,即高次內插法和高階等差級數求和。
另外,其他成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖〔幻方〕的研究、小數〔十進分數〕具體的應用、珠算的出現等等。
這一時期民間數學教育也有一定的發展,以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。
分數加減法
1、同分母分數相加減,分母不變,即分數單位不變,分子相加減,最後要約分。
例1:2/9+5/9=(2+5)/9=7/9
例2:1/8+3/8=(1+3)/8=4/8=1/2
例3:5/9-1/9=(5-1)/9=4/9
例4:3/4-1/4=(3-1)/4=2/4=1/2
2.異分母分數相加減,先通分,即運用分數的基本性質將異分母分數轉化為同分母分數,改變其分數單位而大小不變,再按同分母分數相加減法去計算,最後要約分。
例1:3/4+5/7=21/28+20/28=(21+20)/28=41/28
例2:5/24+1/8=5/24+3/24=(5+3)/24=8/24=1/3
例3:7/8-1/4=7/8-2/8=(7-2)/8=5/8
例4:8/15-1/5=8/15-3/15=(8-3)/15=5/15=1/3

分數乘除法

1、分數乘整數,分母不變,分子乘整數,最後要約分。
例1:4/5×3=(4×3)/5=12/5
例2:3/22×2=(3×2)/22=6/22=3/11
2.分數乘分數,用分子乘分子,用分母乘分母,最後要約分。
例1:5/6×1/3=5×1/(6×3)=5/18
例2:2/5×1/4=(2×1)/(5×4)=2/20=1/10
3.分數除以整數,分母不變,如果分子是整數的倍數,則用分子除以整數,最後要約分。
例1:4/15÷2=(4÷2)/15=2/15
例2:42/30÷7=(42÷7)/30=6/30=1/5
4.分數除以整數,分母不變,如果分子不是整數的倍數,則用這個分數乘這個整數的倒數,最後要約分。
例1:3/8÷2=3/8×1/2=(3×1)/(8×2)=3/16
例2:4/5÷6=4/5×1/6=(4×1)/(5×6)=4/30=2/15
5.分數除以分數,等於被除數乘除數的倒數,最後不是最簡分數要約分。
例1:2/3÷3/4=2/3×4/3=(2×4)/(3×3)=8/9
例2:2/15÷1/3=2/15×3=(2×3)/15=6/15=2/5
分數計算參考程序
1、C語言程序。
例1:C語言分數計算參考程序。
main()
{
long a,b,c,d,aa,bb,cc,e,f;
char ch;
l1:printf("輸入兩個分數及運算符:");/*如2/3*7/6*/
scanf("%ld/%ld%c%ld/%ld",&a,&b,&ch,&c,&d);
if(ch=='+')
{
aa=a*d+b*c;
bb=b*d;
}
if(ch=='-')
{
aa=a*d-b*c;
bb=b*d;
}
if(ch=='*')
{
aa=a*c;
bb=b*d;
}
if(ch=='/')
{
aa=a*d;
bb=b*c;
}
e=aa;f=bb;
if(aa<bb)
{
cc=aa;
aa=bb;
bb=cc;
}
do
{
cc=aa%bb;
if(cc!=0)
{aa=bb;bb=cc;}
}while(aa%bb!=0);
printf("計算結果為:%ld/%ld",e/bb,f/bb);
getch();
printf("\n是否還要計算y/n");
if(getch()=='y')
{printf("\n");
goto l1;}
}
例2:C語言分數計算參考程序。
#include "stdio.h"
void main()
{char s;
int x1,y1,x2,y2,fenzi=1,fenmu=1,a,b,c;
printf("請寫入分式:例如 1/2+1/3 然後,回車。\n");
scanf("%d/%d %c %d/%d",&x1,&y1,&s,&x2,&y2);
switch (s)
{case '+':fenzi=x1*y1+x2*y2;fenmu=y1*y2;break;
case '-':fenzi=x1*y2-x2*y1;fenmu=y1*y2;break;
case '*':fenzi=x1*x2;fenmu=y1*y2;break;
case '/':fenzi=x1*y2;fenmu=y1*x2;break;}
a=fenzi;b=fenmu;
a*=(a>=0)?1:-1; //此行不能省略
b*=(b>=0)?1:-1; //此行不能省略 為什麼?
while (b>0) //歐幾里德法尋找最大公約數
{c=a%b;a=b;b=c;} //
fenzi/=a;fenmu/=a; //
if (fenmu==1||fenzi==0) printf("%d/%d %c %d/%d = %d\n",x1,y1,s,x2,y2,fenzi);//要是能避免判定就好了
else printf("%d/%d %c %d/%d = %d/%d\n",x1,y1,s,x2,y2,fenzi,fenmu);
} //goto什麼的最討厭了

5英文讀法

分數、小數和百分比的讀法;分數中分子用基數詞表示、分母用序數詞表示。先讀分子,後讀分母。當分子大於1時,分母要加「s」。
例如:2/3 ---two thirds
口訣:分子基數詞,分母序數詞,分子大於1,分母加s.

6其他含義

也可以代表其他領域所得得分。舉例:考試分數或成績。
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