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分析方法,其實就是人事時地物,分析任何問題都可以從這五個方面下手,找出問題的根據。

1 分析方法 -圖書信息

  書 名: 分析方法
  作 者:斯特里沙茲(RobertS.Strichartz)
  出版社: 世界圖書出版公司
  出版時間: 2010年4月1日
  ISBN: 9787510005565
  開本: 16開
  定價: 99.00元

2 分析方法 -內容簡介

  數學主要講述思想的方法,深入理解數學比掌握一大堆的定理、定義、問題和技術顯得更為重要。理論和定義共同作用。

3 分析方法 -圖書目錄

  Preface
  1 Preliminaries
  1.1 The Logic of Quantifiers
  1.1.1 Rules of Quantifiers
  1.1.2 Examples
  1.1.3 Exercises
  1.2 Infinite Sets
  1.2.1 Countable Sets
  1.2.2 Uncountable Sets
  1.2.3 Exercises
  1.3 Proofs
  1.3.1 How to Discover Proofs
  1.3.2 How to Understand Proofs
  1.4 The Rational Number System
  1.5 The Axiom of Choice
  2 Construction of the Real Number System
  2.1 Cauchy Sequences
  2.1.1 Motivation
  2.1.2 The Definition
  2.1.3 Exercises
  2.2 The Reals as an Ordered Field
  2.2.1 Defining Arithmetic
  2.2.2 The Field Axioms
  2.2.3 Order
  2.2.4 Exercises
  2.3 Limits and Completeness
  2.3.1 Proof of Completeness
  2.3.2 Square Roots
  2.3.3 Exercises
  2.4 Other Versions and Visions
  2.4.1 Infinite Decimal Expansion
  2.4.2 Dedekind Cuts
  2.4.3 Non-Standard Analysis
  2.4.4 Constructive Analysis
  2.4.5 Exercises
  2.5 Summary
  3 Topology of the Real Line
  3.1 The Theory of Limits
  3.1.1 Limits, Sups, and Infs
  3.1.2 Limit Points
  3.1.3 Exercises
  3.2 Open Sets and Closed Sets
  3.2.1 Open Sets
  3.2.2 Closed Sets
  3.2.3 Exercises
  3.3 Compact Sets
  3.3.1 Exercises
  3.4 Summary
  4 Continuous Functions
  4.1 Concepts of Continuity
  4.1.1 Definitions
  4.1.2 Limits of Functions and Limits of Sequences
  4.1.3 Inverse Images of Open Sets
  4.1.4 Related Definitions
  4.1.5 Exercises
  4.2 Properties of Continuous Functions
  4.2.1 Basic Properties
  4.2.2 Continuous Functions on Compact Domains
  4.2.3 Monotone Functions
  4.2.4 Exercises
  4.3 Summary
  5 Differential Calculus
  5.1 Concepts of the Derivative
  5.1.1 Equivalent Definitions
  5.1.2 Continuity and Continuous Differentiability
  5.1.3 Exercises
  5.2 Properties of the Derivative
  5.2.1 Local Properties
  5.2.2 Intermediate Value and Mean Value Theorems
  5.2.3 Global Properties
  5.2.4 Exercises
  5.3 The Calculus of Derivatives
  5.3.1 Product and Quotient Rules
  5.3.2 The Chain Rule
  5.3.3 Inverse Function Theorem
  5.3,4 Exercises
  5.4 Higher Derivatives and Taylor's Theorem
  5.4.1 Interpretations of the Second Derivative
  5.4.2 Taylor's Theorem
  5.4.3 L'HSpital's Rule
  5.4.4 Lagrange Remainder Formula
  5.4.5 Orders of Zeros
  5.4.6 Exercises
  5.5 Summary
  6 Integral Calculus
  6.1 Integrals of Continuous Functions
  6.1.1 Existence of the Integral
  6.1.2 Fundamental Theorems of Calculus
  6.1.3 Useful Integration Formulas
  6.1.4 Numerical Integration
  6.1.5 Exercises
  6.2 The Riemann Integral
  6.2.1 Definition of the Integral
  6.2.2 Elementary Properties of the Integral
  6.2.3 Functions with a Countable Number of Discon-tinuities
  6.2.4 Exercises
  6.3 Improper Integrals
  6.3.1 Definitions and Examples
  6.3.2 Exercises
  6.4 Summary
  7 Sequences and Series of Functions
  7.1 Complex Numbers
  7.1.1 Basic Properties of C
  7.1.2 Complex-Valued Functions
  7.1.3 Exercises
  7.2 Numerical Series and Sequences
  7.2.1 Convergence and Absolute Convergence
  7.2.2 Rearrangements
  7.2.3 Summation by Parts
  7.2.4 Exercises
  7.3 Uniform Convergence
  7.3.1 Uniform Limits and Continuity
  7.3.2 Integration and Differentiation of Limits
  7.3.3 Unrestricted Convergence
  7.3.4 Exercises
  7.4 Power Series
  7.4.1 The Radius of Convergence
  7.4.2 Analytic Continuation
  7.4.3 Analytic Functions on Complex Domains
  7.4.4 Closure Properties of Analytic Functions
  7.4.5 Exercises
  7.5 Approximation by Polynomials
  7.5.1 Lagrange Interpolation
  7.5.2 Convolutions and Approximate Identities
  7.5.3 The Weierstrass Approximation Theorem
  7.5.4 Approximating Derivatives
  7.5.5 Exercises
  7.6 Eouicontinuity
  7.6.1 The Definition of Equicontinuity
  7.6.2 The Arzela-Ascoli Theorem
  7.6.3 Exercises
  7.7 Summary
  8 Transcendental Functions
  8.1 The Exponential and Logarithm
  8.2 Trigonometric Functions
  8.3 Summary
  9 Euclidean Space and Metric Spaces
  9.1 Structures on Euclidean Space
  9.2 Topology of Metric Spaces
  9.3 Continuous Functions on Metric Spaces
  9.4 Summary
  10 Differential Calculus in Euclidean Space
  10.1 The Differential
  10.2 Higher Derivatives
  10.3 Summary
  11 Ordinary Differential Equations
  11.1 Existence and Uniqueness
  11.2 Other Methods of Solution
  11.3 Vector Fields and Flows
  11.4 Summary
  12 Fourier Series
  12.1 Origins of Fourier Series
  12.2 Convergence of Fourier Series
  12.3 Summary
  13 Implicit Functions, Curves, and Surfaces
  13.1 The Implicit Function Theorem
  13.2 Curves and Surfaces
  13.3 Maxima and Minima on Surfaces
  13.4 Arc Length
  13.5 Summary
  14 The Lebesgue Integral
  14.1 The Concept of Measure
  14.2 Proof of Existence of Measures
  14.3 The Integral
  14.4 The Lebesgue Spaces L1 and L2
  14.5 Summary
  15 Multiple Integrals
  15.1 Interchange of Integrals
  15.2 Change of Variable in Multiple Integrals
  15.3 Summary
  Index
  邏輯意義上的分析方法: 
  分析與綜合是哲學、心理學中探討的較為深透的方法。在這裡,主要從邏輯學的角度加以認識。
  1.什麼是分析
  所謂分析,就是把對象的整體分解為各個部分加以考察的方法[1]。客觀事物整體與部分的關係是分析方法的客觀基礎。整體是由它的各個組成部分構成的,客觀事物在一定條件下分解為它的各個組成部分,事物的各種屬性、方面或關係從不同方面表現了事物的整體性。人的大腦所具有的分析功能是分析的主觀條件。客觀事物的多方面屬性的信息通過不同的感官渠道接收;人的思維能夠把這些信息分成更細小的單元。客觀事物的可分性和人腦的分析功能使分析方法成為人們勞動實踐的方法和思維方法。人類最初在取食野果、解剖野獸、分食獸肉等勞動過程中,就學會了分析。恩格斯指出:「一個果核的剖開已是分析的開端。」[2]人們在勞動中對客觀對象的分析現象,以攜帶信息的形象反映到思維中,導致了思維對形象的分析。思維中的分析是由想象完成的。在想象中,把一個事物的整體分為若干部分、把一個過程分為若干階段、把一個系統分成若干個子系統或要素等等都屬於分析。
  分析方法是思維常用的方法,但是作為思維科學的邏輯學長期以來沒有將這種思維方法納入自己的研究範圍。亞里士多德的傳統邏輯主要關注「s是p」這樣的直言判斷,較少顧及其他命題;現代邏輯著眼於各種邏輯形式的構造,但卻沒有構造出分析方法的邏輯形式。因此,邏輯學還不能解釋由分析所構成的思維現象。由分析所構成的命題在日常思維和語言中都是大量存在的。例如,「一米是三尺」就是一個由分析所構成的命題。它應當解釋為:一米可以分成三個一尺或一米由三個一尺構成。數學中,與之類似的如「5=3+2」、「6=3×2」等也都是由分析所構成的命題。從中不難看出,數學中,加、減、乘、除、乘方、開方的運算,都是分析方法和與之相對應的綜合方法的運算。
  人類的思維實踐創造了眾多的分析方法,這些分析方法可以從不同的角度進行分類。邏輯學上區分了分解與劃分。
  (1)分解
  分解是對具體事物的分析。將事物的「一個整體分成它的各個組成部分」[3]就是分解。分解是生活實踐中用得最多的分析。其中又有靜態分析和動態分析的區分。將一個處於相對靜止狀態中的對象整體分解為部分,稱為靜態分析,也稱橫向分析。例如,把完整的動物機體分解為它的器官、組織、細胞等便是靜態分析。事物都是運動變化的。一個事物運動變化的過程也可以看作一個整體。將一個事物運動變化的過程分為時間上的各個階段,稱為動態分析,也稱縱向分析。列寧說過:「如果不把不間斷的東西割斷,不使活生生的東西簡單化、粗造化,不加以割碎,不使之僵化,那麼我們就不能想象、表達、測量、描述運動。」例如,把恆星演化的全過程分解為引力收縮階段、主序星階段、紅巨星階段和高密恆星階段,就屬於動態分析。此外,還有定性分析與定量分析的區分。定性分析是對事物的質的分析,確定事物具有或不具有某種屬性,指明事物是什麼或不是什麼。例如,蘋果的形狀是圓的、顏色是紅的、味道是酸的,便屬於這種類型。這種對於事物屬性的分析與抽象存在密切的關係。事物的某一屬性一旦被分離出來,抽象就開始了。定量分析是對事物的量的分析,包括對事物組成成分的數量、事物發展的數量分析。例如,通過對水的定量分析,可以得知水是由兩個氫原子與一個氧原子構成,在攝氏0度到100度之間保持液體狀態。無論是靜態分析、動態分析,還是定性分析、定量分析,都能作深層次的分析。將事物構成的複雜系統分解為各個因素、方面、屬性或子系統,稱為系統分析。如進行一項複雜的工程建設,事先需要分析它的各個組成部分,還要分析各個部分相互聯繫、相互作用的特點,它的功能特點,它在各種外界條件作用下所表現出來的特點等等,如此才能為工程設計提供各方面的依據。
  (2)劃分
  劃分是邏輯學上對概念的分析。傳統邏輯一般認為,劃分是明確概念外延的邏輯方法,只涉及概念的外延。這種看法是有片面性的。斯多葛學派早就認識到,可以根據一定的質進行劃分,例如將東西劃分為好的、不好的。這種劃分顯然是內涵上的劃分。事實上,劃分任何概念都要以一定的屬性作根據,這就意味著首先對概念的內涵作出分析,然後協同分析概念的相應外延。例如「人」這一概念,其內涵以性別為根據,分析為「男性」與「女性」,相應的外延分析為「男人」與「女人」,從而實現了對「人」這一概念的劃分。所以,劃分也是一種系統分析,只不過是對概念結構系統中的內涵與外延所作的協同分析。「劃分必須是相稱的」的規則,正是「整體等於部分之和」這一分析原理的運用。
  除此之外,對命題也可以進行分析。例如,全稱命題由單稱命題構成,因而可以分析出一個個單稱命題。演繹推理由一般推出個別,由全稱命題推導單稱命題來,實際上是對命題的一種分析運用。關於這一論題將在「演繹方法」一文中闡述。
  這些不同名目的分析都是對事物整體的不同角度、不同方式、不同程度的分析。
  2.分析所構成的邏輯關係
  事物的整體都是有機的構成,事物內部中各個部分之間的聯繫是錯綜複雜的。思維中的分析是對事物反映到人腦中的信息所作的分析,因此能夠不為事物構成的有機性和複雜性所困。在那裡,任何難以分解的複雜事物都可以輕而易舉地加以分析。例如,一個人的機體可以分析為五官、四肢,分析為骨骼系統、肌肉系統、神經系統、血液系統等等;「一尺之棰,日取其半,萬世無竭」,可以分析到分子、原子或更細小的粒子。思維的無形之刀在分析這些事物時,不會掉下一滴血液,不會散落一點渣沫,不會損失任何信息。被分析的部分也很容易綜合還原,且不留下任何痕迹。邏輯學在考察思維的分析時,也不再考慮事物構成的有機性與複雜性,它只考慮分析所構成的純粹的邏輯關係,就像物理學研究運動規律時不考慮摩擦一樣。分析所得到的純粹邏輯關係是整體與部分的關係。被分析對象的整體稱之為分析的母項,分析所得到的部分稱之為分析的子項。在《想象的邏輯作用》[4]一文中曾經提出,一個事物的整體無論做何種方式、何種角度、何種程度的分析,它所造成的整體與部分的邏輯關係都是一致的,即:整體等於部分之和,或者母項等於子項之和。一個人的身體等於他的各部分肢體之和,一個水分子等於兩個氫原子與一個氧原子之和,一個集合等於它的元素之和,一個概念的外延等於它的各個子概念外延之和。用邏輯形式表示,即:
  s=a+b+c+n
  其中a、b、c是對象整體s中分析出來的確定部分,n是s中除a、b、c之外的其餘部分。公式所體現的關係,是分析方法所構成的基本關係,在邏輯中屬於比較關係中的等於關係,其命題屬於相等關係的命題,並服從相等關係的邏輯運算。任何名目的分析都服從整體等於部分之和的規律。
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