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分段函數:對於自變數x的不同的取值範圍,有著不同的對應法則,這樣的函數通常叫做分段函數.它是一個函數,而不是是幾個函數:分段函數的定義域是各段函數定義域的並集,值域也是各段函數值域的並集.

1 分段函數 -定義

已知函數定義域被分成有限個區間,若在各個區間上表示對應規則的數學表達式一樣,但單獨定義各個區間公共端點處的函數值;或者在各個區間上表示對應規則的數學表達式不完全一樣,則稱這樣的函數為分段函數。
其中定義域所分成的有限個區間稱為分段區間,分段區間的公共端點稱為分界點。

2 分段函數 -類型

  1、分界點左右的數學表達式一樣,但單獨定義分界點處的函數值(例1)
  2、分界點左右的數學表達式不一樣(例2)

3 分段函數 -函數的表達式

求分段函數的表達式的常用方法有:待定係數法、數形結合法和公式法等。本題採用數形結合法。

例:求二次函數f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2在[0,1]上的最小值g(a)的解析式。   

解:二次函數f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2=[x-(2a-1)]2+a2+1   圖像開口向上,對稱軸是x=2a-1 .   

(1)若2a-1<0即a< 時,  二次函數f(x)在[0,1]上的最小值是   g(a)=f(0)=5a2-4a+2 ;   

(2)若0≤2a-1<1即 ≤a<1時,   二次函數f(x)在[0,1]上的最小值是   g(a)=f(2a-1)=a2+1;   

(3)若2a-1≥1即a≥1時,  二次函數f(x)在[0,1]上的最小值是   g(a)=f(1)=1-2(2a-1)+5a2-4a+2   =5a2-8a+5 .   

 

4 分段函數 -最小正周期

 求分段函數的最小正周期的方法有:定義法、公式法和作圖法。  

例: 求函數f(x)= 的最小正周期。   

定義法

:當x=2kπ或2kπ+π時,sin(2kπ+π)=sin2kπ=0   

當2kπ-π<x<2kπ時,2kπ<x+π<2kπ+π,k∈z   f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,   即有f(x+π)=f(x) ,

同理可證:

當2kπ<x<2kπ+π (k∈z)時,   有f(x+π)=f(x) ,所以f(x) 的最小正周期是π。   

公式法

:∵(2kπ-π,2kπ)∪[2kπ,2kπ+π]=R , (k∈z)   x∈(2kπ-π,2kπ),sinx <0 ,x∈[2kπ,2kπ+π],sinx ≥0 .   

∴f(x)=|sinx|= =   

所以f(x) 的最小正周期T= =π   

作圖法(略)

5 分段函數 -單調性

 分段函數的單調性的判斷方法:分別判斷出各段函數在其定義區間的單調性即可。  

例:討論函數f(x)= 的單調性。

解:當x≥0時,f(x)=-x2+4x-10 ,它是開口向下,對稱軸為x=2的拋物線的一部分,

因此f(x)在區間[0,2]上是增加的,

在區間(2,+∞)上是減少的;當x<0時,f(x)=-x2-4x-10 ,它是開口向下,對稱軸為x=-2的拋物線的一部分,

因此f(x)在區間[-2,0)上是減少的,在區間(-∞,-2)上是增加的。 

6 分段函數 -奇偶性

判斷分段函數的奇偶性的方法:先看定義域是否關於原點對稱,不對稱就不是奇(偶)函數,再由x>0,-x<0 ,分別代入各段函數式計算f(x)與f(-x)的值,若有f(x)=-f(-x),當x=0有定義時f(0)=0,則f(x)是奇函數;若有f(x)=f(-x),則f(x)是偶函數。  

例:判斷下列函數的奇偶性   

(1)f(x)= (2)f(x)=   

解:(1)∵當x>0時,-x<0, f(x)=ex ,f(-x)=-e-(-x) =-ex ,   

              即有f(x)=-f(-x),同理,當x<0時,也有f(x)=-f(-x)  

           ∴函數f(x)是奇函數。   

         (2)∵當x=0時,f(0)=f(-0)=0 ,   當x>0時,-x<0,f(x)=x(1-x) ,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x) ,   

               即有f(x)=f(-x),同理,當x<0時,也有f(x)=f(-x).   

            ∴函數f(x)是偶函數。   

7 分段函數 -值域

求分段函數的值域的方法:分別求出各段函數在其定義區間的值域,再取它們的並集即可。 

例:求函數f(x)= 的值域。   

解:當-2≤x≤a時,x2 的取值有三種情形:   

(1)當-2≤a<0時,有a2≤x2≤4 ;   

(2)當0≤a≤2時,有0≤x2≤4 ;   

(3)當a>2時,有0≤x2≤a2   

當x>a時,-|x|的取值有兩種情形:   

(1)當-2≤a<0時,有-|x|≤0,   

(2)當a≥0時,有-|x|<-a 。   

所以原函數的值域為:   (1)當-2≤a<0時,為(-∞,0]∪[a2,4] ;   (2)當0≤a≤2時,為(-∞,-a)∪[0,4];   (3)當a>2時,為(-∞,-a)∪[0,a2]   

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