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分類思想,是根據數學本質屬性的相同點和不同點,將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。

  分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點,將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。分類以比較為基礎,比較是分類的前提,分類是比較的結果。

  分類討論思想,貫穿於整個中學數學的全部內容中。需要運用分類討論的思想解決的數學問題,就其引起分類的原因,可歸結為:①涉及的數學概念是分類定義的;②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的;③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能;④數學問題中含有參變數,這些參變數的取值會導致不同結果的。應用分類討論,往往能使複雜的問題簡單化。分類的過程,可培養學生思考的周密性,條理性,而分類討論,又促進學生研究問題,探索規律的能力。

  分類思想的初高中教學銜接

  1.定位

  ●三大基本思想之一;

  ●可以用紙筆方式直接測試;

  ●大規模考試必測的內容.

  2.分類思想解題的思維過程分析

  在運用分類的思想進行解題時,其思維過程通常可以分為:第一,要明確是否需要分類討論;第二,確定分類的對象;第三,確定分類的標準;第四,逐類逐級分類討論;第五,綜合、歸納結論.

  第一 明確是否需要分類討論

  運用分類的思想解題首先需要明確分類討論的原因.即哪些問題常常需要用到分類的思想來解決.大多數的學生在面對一個數學問題時,不易判斷此問題是否需要用到分類的方法來解決該問題,即無法根據問題的條件和結論迅速辨認問題中與分類有關的數量關係或位置關係.因此,從所給的問題情境中,正確而迅速地辨認題目中與分類有關的數量關係或位置關係的,是解決問題的基礎,一般地說,當我們研究的問題是下列幾種的情形時,可以考慮使用分類的思想方法來解決問題.

  ●涉及到分類定義的概念.

  有些概念是分類定義的,如有理數、實數、絕對值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等,當我們應用這些概念時就必須考慮使用分類討論的方法.

  例1:等腰三角形的周長為16,其中一條邊的長為6,求另兩條邊的長.

  有些概念在下定義時,對所考慮的對象的範圍進行了限制,如分式、一元二次方程的概念等,當解題過程中需要突破這些限制時,就必須考慮使用分類討論的方法.

  例2:解關於x的方程(a-1)x-2ax+a=0

  ● 直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則.

  《數學課程標準》的要求,直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的有:

  有理數的大小比較法則;有理數的加法、乘法、除法、乘方法則;有理數乘法運算律之際的符號與因數的符號的關係;添括弧、去括弧法則;方程兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數,方程的解不變;不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正(負)數,不等號的方向不(改)變;一元二次方程的求根公式;一元二次方程根的判別式;直線與圓的位置關係(交點的個數多少、半徑與圓心到直線的距離的數量大小比較);兩圓的位置關係((交點的個數多少、兩圓半徑的和與圓心距的數量大小比較);一次函數的性質;反比例函數的性質;二次函數的性質等.

  當我們應用一元二次方程根的判別式,直線與圓的位置關係(交點的個數多少、半徑與圓心到直線的距離的數量大小比較),兩圓的位置關係((交點的個數多少、兩圓半徑的和與圓心距的數量大小比較),這些性質解題時,可以考慮使用分類討論的方法.

  當我們應用其他受到適用範圍條件限制的定理、性質、公式、法則來解決問題時,如果在解決問題時需要突破對定理、性質、公式、法則的條件限制時可以考慮使用分類討論的方法.

  例3:函數y=kx+3 (-1≤x≤1,且k≠0)的圖象上的點都在x軸的上方,則k的取值範圍是 .

  ●進行某些有限制的運算.

  在解題時,遇到除法、開偶次方、含有絕對值符號等運算時,應該考慮使用分類討論的方法.

  ●在計算、推理過程中,遇到數量大小不確定.

  在計算、推理過程中,往往會遇到同一個已知條件具有不同的取值(在取值範圍內),且由於取值的不同,導致了不同的結果的出現.遇到這種情況,可以考慮使用分類的方法解決問題.
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