標籤:初等變換 行列式 矩陣 線性方程組 分塊矩陣

初等變換(elementary transformation)是高等代數中的名詞,也是一種運算的名稱。初等變換包括:線性方程組的初等變換、行列式的初等變換和矩陣的初等變換。三個方面的初等變換大同小異。

1線性方程組的初等變換

我們稱對方程組的換法變換、倍法變換、消法變換為線性方程組的初等變換。
換法變換:交換兩個方程的位置。即ri←→rj(或對列變換ci←→cj)
倍法變換:用一個非零數乘某一個方程。即ri×k(k≠0)或ri×k(k≠0)
消法變換:把一個方程的倍數加到另一個方程上。即ri+rj×k或ri+rj×k
用消元法解線性方程組實際上是對方程組反覆施行了這三中變換。

2行列式的初等變換

我們稱對行列式的換法變換、倍法變換、消法變換為行列式的初等變換。換法變換:交換兩行(列)。
倍法變換:將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數k。
消法變換:把行列式的某一行(列)的所有元素乘以一個數k並加到另一行(列)的對應元素上。
換法變換的行列式要變號;倍法變換的行列式要變k倍;消法變換的行列式不變。
求解行列式的值時可以初等行變換和初等列變換同時使用。

3矩陣的初等變換

矩陣的初等行變換和初等列變換,統稱矩陣的初等變換。下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換:
1 對調兩行;
2 以數k≠0乘某一行的所有元素;
3 把某一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去。
把上面定義中的「行」換成「列」,既得矩陣的初等列變換的定義。
如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價。
另外:分塊矩陣也可以定義初等變換。
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