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判別式是判斷方程有沒有根以及有幾個根的公式,可以用來解一元二次方程。

1定義

任意一個一元二次方程
ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)
均可配成
(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
,因為a≠0,由平方根的意義可知,
b^2-4ac
的符號可決定一元二次方程根的情況.
b^2-4ac
叫做一元二次方程
ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)
的根的判別式,用「△」表示(讀做「dealt」),即△=
b^2-4ac

2根的情況判別

1 一元二次方程
ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)
的根的情況判別
(1)當△>0時,方程有兩個不相等的實數根;
(2)當△=0時,方程有兩個相等的實數根;
(3)當△<0時,方程沒有實數根.
(1)和(2)合起來:當△≥0時,方程有實數根.
上面結論反過來也成立.可以具體表示為:
在一元二次方程
ax^2+bx+c=0
(a≠0,a、b、c∈R)中,
①當方程有兩個不相等的實數根時,△>0;
②當方程有兩個相等的實數根時,△=0;
③當方程沒有實數根時,△<0。
注意 根的判別式是△=
b^2-4ac
,而不是△=
\sqrt{b^2-4ac}
一元二次方程求根公式:
當Δ=
b^2-4ac
≥0時,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
當Δ=
b^2-4ac
<0時,
x=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}}{2a}
(i是虛數單位)
一元二次方程配方法
ax^2+bx+c=0
(a,b,c是常數)
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

3應用

2 一元二次方程的判別式的應用
(1)不解方程,判別一元一次方程根的情況.
它有兩種不同層次的類型:
①係數都為數字;
②係數中含有字母;
③係數中的字母人為地給出了一定的條件.
(2)根據一元二次方程根的情況,確定方程中字母的取值範圍或字母間關係.
(3)應用判別式證明方程根的情況(有實根、無實根、有兩不等實根、有兩相等實根)
應用
① 解一元二次方程,判斷根的情況。
② 根據方程根的情況,確定待定係數的取值範圍。
③ 證明字母係數方程有實數根或無實數根。
④ 應用根的判別式判斷三角形的形狀。
⑤ 判斷當字母的值為何值時,二次三項是完全平方式
⑥ 可以判斷拋物線與直線有無公共點
聯立方程。
⑦ 可以判斷拋物線與x軸有幾個交點
拋物線
y=ax^2+bx+c
與x軸的交點 (1)當y=0時,即有
ax^2+bx+c=0
,要求x的值,需解一元二次方程
ax^2+bx+c=0
。可見,拋物線
y=ax^2+bx+c
與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程
ax^2+bx+c=0
的根的情況確定的,而決定一元二次方程
ax^2+bx+c=0
的根的情況的,是它的判別式的符號,因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形:
1) 當Δ>0時,拋物線與x軸有兩個交點,若此時一元二次方程
ax^2+bx+c=0
的兩根為x1、x2,則拋物線與x軸的兩個交點坐標為(x1,0)(x2,0)。
2)當Δ=0時,拋物線與x軸有唯一交點,此時的交點就是拋物線的頂點,其坐標是(
-\frac{b}{2a}
,0)。
3)當 Δ<0時,拋物線與x軸沒有交點。
⑧ 利用根的判別式解有關拋物線(Δ>0)與x軸兩交點間的距離的問題.
⑨當a>0時,拋物線開口向上,當a<0時,拋物線開口向下。
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