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有些數具有一種特殊的整除性。如:能被11整除的數去尾一倍(或加尾十倍,因為11-1=10)所得數能被11整除。如121,12-1=11,11能被11整除,所以121能。這種方法對於11很好證明,但對其他的卻不一定了。(某數去尾一倍,實際是去了11的倍數,所剩的數去掉後面的零(因為10的無論多少次方都不能被11整除).所以剩餘數若能被11整除,就足以說明原數能被11整除.用奇偶數位和差來說明也是相似的道理)
再如13是加尾四倍(或減尾9倍),17是減尾五倍(或加尾12倍),19是加尾2倍(或減尾十七倍)……
那麼他們之間到底存在什麼規律呢?
還有,舉例子。用變一法(德國小學生的那種,又稱求多位數根數的方法,大致如此:比如說169除以13等於13,1+6+9=16,1+3=4.那麼符合16除以四等於四.而且大於等於兩位的整數加減乘除計算式都符合這種規律.因此,這種方法最廣泛的應用是來檢驗複雜的混合運算結果是否正確.簡單的說,其實變一法就是把某數各位上的數不斷重複求和過程直至化為一個小於10的數的運算.如123156用變一法:1+2+3+4+5+6=21,2+1=3那麼123456變一所得得數就是3. 但除法必須轉化為乘法來進行. )處理加尾四倍的13倍數,發現他們具有一種回歸性:26仍26(6乘4再加2得),39仍39,52變13,78變39……然後發現變一法處理后得到8和11等等之類的數會化得26;變一得7,10,13之類的數會化得13;變一得12,15等的數則得到39。那麼8,11……; 7,10,13……;12,15……各自成等差數列。
後來有人研究后提出,11的相關也可以如下說明:
對一個n位數a來說,把它表示為 a=10x+y,其中y是a的個位數,x是a去掉個位數y后的n-1位數。 (比如:如果a是121,則y就是1,x就是12.)
a=10x+y=11x-(x-y),顯然,只要x-y能被11整除,a就能被11整除。(比如:如果a是121,則y就是1,x-y就是12-1=11)
這種方法對於此類問題可以推廣,如對13相關的證明:
a=10x+y=13x+13y-3x-12y=13(x+y)-3(x+4y);
或 a=10x+y=13x-26y-3x+27y=13(x-2y)-3(x-9y)。
以上類似問題由此一一得解.
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