1簡介

在物理學中,信號通常是波的形式,例如電磁波、隨機振動或者聲波。當波的頻譜密度乘以一個適當的係數后將得到每單位頻率波攜帶的功率,這被稱為信號的功率譜密度(power spectral density, PSD)或者譜功率分佈(spectral power distribution, SPD)。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特數(W/Hz)表示,或者使用波長而不是頻率,即每納米的瓦特數(W/nm)來表示。

2詳細說明

儘管並非一定要為信號或者它的變數賦予一定的物理量綱,下面的討論中假設信號在時域內變化。
上面能量譜密度的定義要求信號的傅里葉變換必須存在,也就是說信號平方可積或者平方可加。一個經常更加有用的替換表示是功率譜密度(PSD),它定義了信號或者時間序列的功率如何隨頻率分佈。這裡功率可能是實際物理上的功率,或者更經常便於表示抽象的信號被定義為信號數值的平方,也就是當信號的負載為1歐姆(ohm)時的實際功率。此瞬時功率(平均功率的中間值)可表示為:
由於平均值不為零的信號不是平方可積的,所以在這種情況下就沒有傅里葉變換。幸運的是維納-辛欽定理(Wiener-Khinchin theorem)提供了一個簡單的替換方法,如果信號可以看作是平穩隨機過程,那麼功率譜密度就是信號自相關函數的傅里葉變換。

3換算方法

信號的功率譜密度當且僅當信號是廣義的平穩過程的時候才存在。如果信號不是平穩過程,那麼自相關函數一定是兩個變數的函數,這樣就不存在功率譜密度,但是可以使用類似的技術估計時變譜密度。
f(t) 的譜密度和 f(t) 的自相關組成一個傅里葉變換對(對於功率譜密度和能量譜密度來說,使用著不同的自相關函數定義)。
通常使用傅里葉變換技術估計譜密度,但是也可以使用如Welch法(Welch's method)和最大熵這樣的技術。
傅里葉分析的結果之一就是Parseval定理(Parseval's theorem),這個定理表明能量譜密度曲線下的面積等於信號幅度平方下的面積,總的能量是:
功率譜密度
上面的定理在離散情況下也是成立的。另外的一個結論是功率譜密度下總的功率與對應的總的平均信號功率相等,它是逐漸趨近於零的自相關函數。

4相關釋義

功率譜密度譜是一種概率統計方法,是對隨機變數均方值的量度。一般用於隨機振動分析,連續瞬態響應只能通過概率分佈函數進行描述,即出現某水平響應所對應的概率。
功率譜密度的定義是單位頻帶內的「功率」(均方值)
功率譜密度是結構在隨機動態載荷激勵下響應的統計結果,是一條功率譜密度值—頻率值的關係曲線,其中功率譜密度可以是位移功率譜密度、速度功率譜密度、加速度功率譜密度、力功率譜密度等形式。數學上,功率譜密度值—頻率值的關係曲線下的面積就是方差,即響應標準偏差的平方值。
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