標籤:測度

1簡介

數學上,勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用於實分析,特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測;勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的,但是即使如此,在假設選擇公理成立時,R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的「奇特」行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題,它是選擇公理的一個結果。

2例子

如果A是一個區間[a,b], 那麼其勒貝格測度是區間長度ba。開區間(a,b)的長度與閉區間一樣,因為兩集合的差是零測集。 如果A是區間 [a,b] 和 [c,d]的笛卡爾積,則它是一個長方形,測度為它的面積(ba)(dc)。康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。

3性質

R上的勒貝格測度有如下的性質
如果A是區間I1 ×I2 × ... ×In的笛卡爾積,那麼A是勒貝格可測的,並且 其中 |I| 表示區間I的長度。 如果A是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的並,那麼A也是勒貝格可測的,並且λ(A) 就是這些可測集的測度的和(或無窮級數的和)。 如果A勒貝格可測的,那麼它的補集(相對於R)也是可測的。 對於每個勒貝格可測集A,λ(A) ≥ 0 。 如果AB是勒貝格可測的,且AB的子集,那麼λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。) 可數多個是勒貝格可測集的交或者並仍然是勒貝格可測的。 (由2,3 可得)。 如果A是一個開集或閉集,且是R(甚至Borel集,見度量空間,待補)的子集,那麼A是勒貝格可測的。 如果A是一個勒貝格可測集,並有 λ(A) = 0 (空集),則A的任何一個子集也是空集。 如果A是勒貝格可測的,xR中的一個元素,A關於x的平移(定義為A+x= {a+x:aA})也是勒貝格可測的,並且測度等於A. 如果A是勒貝格可測的,δ > 0,則A關於δ的擴張(定義為)也是勒貝格可測的,其測度為。 更廣泛地說,設T是一個線性變換,A是一個R的勒貝格可測子集,則T(A)也是勒貝格可測的,其測度為。 如果AR的勒貝格可測子集,f是一個AR上的連續單射函數,則f(A)也是勒貝格可測的。
簡要地說,R的勒貝格可測子集組成一個含所有區間及其笛卡爾積的σ代數,且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足的測度。
勒貝格測度是σ有限測度。

4零測集

主條目:零測集
R的子集是零測集,如果對於每一個ε > 0,它都可以用可數個n個區間的乘積來覆蓋,其總體積最多為ε。所有可數集都是零測集。
如果R的子集的豪斯多夫維數小於n,那麼它就是關於n維勒貝格測度的零測集。在這裡,豪斯多夫維數是相對於R上的歐幾里得度量(或任何與其等價的利普希茨度量)。另一方面,一個集合可能拓撲維數小於n,但具有正的n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集,它的拓撲維數為0,但1維勒貝格測度為正數。
為了證明某個給定的集合A是勒貝格可測的,我們通常嘗試尋找一個「較好」的集合B,與A只相差一個零測集,然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和並集生成。

5結構

勒貝格測度的現代結構,基於外測度,是卡拉特奧多里發明的。
固定。中的盒子是形如的集合,其中。這個盒子的體積定義為
對於任何R的子集A,我們可以定義它的外測度λ (A):
是可數個盒子的集合,它的並集覆蓋了 然後定義集合A為勒貝格可測的,如果對於所有集合,都有:
這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。勒貝格測度定義為λ(A) = λ(A)對於任何勒貝格可測的集合A
根據維塔利定理,存在實數R的一個勒貝格不可測的子集。如果A是的任何測度為正數的子集,那麼A便有勒貝格不可測的子集。

6關係

在所定義的集合上,博雷爾測度與勒貝格測度是一致的;然而,仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的,但不是完備的。
哈爾測度可以定義在任何局部緊群上,是勒貝格測度的一個推廣(帶有加法的R是一個局部緊群)。
豪斯多夫測度(參見豪斯多夫維數)是勒貝格測度的一個推廣,對於測量R的維數比n低的子集是很有用的,例如R內的曲線或曲面,以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的概念混淆。
可以證明,在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。

7歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測度,隨後在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發表的。
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