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勾股數,凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數,稱之為勾股數。

1 勾股數 -簡介


①觀察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…發現這些勾股數都是奇數,且從3起九沒有間斷過。計算0.5(9-1),0.5(9+1)與0.5(25-1),0.5(25+1),並根據你發現的規律寫出分別能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根據①的規律,用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦,合情猜想他們之間的兩種相等關係,並對其中一種猜想加以說明。

③繼續觀察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以發現各組的第一個數都是偶數,且從4起也沒有間斷過,運用上述類似的探索方法,之間用m的代數式來表示它們的股合弦。

2 勾股數 -構成直角三角形的充分且必要條件


設直角三角形三邊長為a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,這是構成直角三角形三邊的充分且必要的條件。因此,要求一組勾股數就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整數解。

例:已知在△ABC中,三邊長分別是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求證:∠C=90°。此例說明了對於大於2的任意偶數2n(n>1),都可構成一組勾股數,三邊分別是:2n、n2-1、n2+1。如:6、8、10,8、15、17、10、24、26…等。

再來看下面這些勾股數:3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…這些勾股數都是以奇數為一邊構成的直角三角形。由上例已知任意一個大於2的偶數可以構成一組勾股數,實際上以任意一個大於1的奇數2n+1(n>1)為邊也可以構成勾股數,其三邊分別是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,這可以通過勾股定理的逆定理獲證。

3 勾股數 -特點

觀察分析上述的勾股數,可看出它們具有下列二個特點:

1、直角三角形短直角邊為奇數,另一條直角邊與斜邊是兩個連續自然數。

2、一個直角三角形的周長等於短直角邊的平方與這邊的和。

掌握上述二個特點,為解一類題提供了方便。

例:直角三角形的三條邊的長度是正整數,其中一條短直角邊的長度是13,求這個直角三角形的周長是多少?

用特點1解:設這個直角三角形三邊分別為13、x、x+1,則有:169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周長=13+84+85=182。

用特點2解:此直角三角形是以奇數為邊構成的直角三角形,因此周長=169+13=182。

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