標籤:尺規作圖三等分角問題倍立方體問題

化圓為方是古希臘尺規作圖問題之一,即:求一正方形,其面積等於一給定圓的面積。由π為超越數可知,該問題僅用尺規是無法完成的。但若放寬限制,這一問題可以通過特殊的曲線來完成。如西皮阿斯的割圓曲線,阿基米德的螺線等。

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其二
其實,若不受標尺的限制,化圓為方問題並非難事,歐洲文藝復興時代的大師義大利數學家達芬奇(1452-1519)用已知圓為底,圓半徑的r/2為高的圓柱,在平面上滾動一周,所得的矩形,其面積恰為圓的面積,所以所得矩形的面積=(r/2)×2πr=πr^2 ,然後再將矩形化為等積的正方形即可。
現已證明,在尺規作圖的條件下,此題無解。
尺規可作性和規矩數
在研究各種尺規作圖問題的時候,數學家們留意到,能否用尺規作出特定的圖形或目標,本質是能否作出符合的長度。引進直角坐標系和解析幾何以後,又可以將長度解釋為坐標。比如說,作出一個圓,實際上是作出圓心的位置(坐標)和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線,實際上是找出它們的坐標、斜率和截距。為此,數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點O和A,以OA為單位長度,射線OA為x-軸正向可以為平面建立一個標準直角坐標系,平面中的點可以用橫坐標和縱坐標表示,整個平面可以等價於。
設E是的一個非空子集。如果某直線經過E中不同的兩點,就說是E-尺規可作的,簡稱E-可作。同樣地,如果某個圓的圓心和圓上的某個點是E中的元素,就說是E-可作的。進一步地說,如果里的某個點P是某兩個E-可作的直線或圓的交點(直線-直線、直線-圓以及圓-圓),就說點P是E-可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的,包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有E-尺規可作的點的集合記作s(E),那麼當E中包含超過兩個點的時候,E肯定是s(E)的真子集。從某個點集E0開始,經過一步能作出的點構成集合E1=s(E),經過兩步能作出的點就是E2=s(E1),……以此類推,經過n步能作出的點集就是En=s(En-1)。而所有從E能尺規作出的點集就是:
另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設H是從集合E0={(0,0), (0,1)}開始,尺規可作點的集合: 那麼規矩數定義為H中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。
  • 定義:實數a和b是規矩數當且僅當(a, b)是H中的一個點。
可以證明,有理數集是所有規矩數構成的集合K的子集,而K又是實數集的子集。另外,為了在複數集內討論問題,也會將平面看作複平面,同時定義一個複數a+bi是(復)規矩數當且僅當點(a, b)是H中的一個點。所有復規矩數構成的集合L也包含作為子集,並且是複數集的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數,尺規作圖問題從幾何問題轉成了代數的問題。
規矩擴張的階數
對任何一個尺規可作點,都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的,而其中生成新點(也就是新坐標)的只有后三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻,已知的所有尺規可作點構成的域是L,那麼生成新點時的直線和圓的係數都在L裡面。
  • 直線的方程是:
  • 圓的方程是:
無論是兩個(1)類方程,兩個(2)類方程,還是一個(1)類和一個(2)類方程聯立求解,得到的x和y值都會是形同
的數值。所以復規矩數z=x+yi滿足一個二次方程:
其中的p1+p2i、q1+q2i以及t都是L中的元素。這意味著,域擴張L⊆L(z)的階數最多是2(最小多項式的階數至多是2)。這又說明,從L開始,經過一系列(n次)基本步驟得到的尺規可作點,代表了n次域擴張:
而每次域擴張的階數:[Lk: Lk-1]都不超過2。因此,如果從基本的有理數域出發的話,就能得到如下的定理:
任何復規矩數z對應的域擴張的階數都是2的某個冪次:
其中的s是某個小於n的自然數(n是已知所有有理數坐標點時,作出z對應的點要經過的基本步驟數目)。

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