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化圓為方問題

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1簡介

化圓為方問題
化圓為方問題(problem of quadrature of circle)是二千四百多年前古希臘人提出的三
化圓為方問題
大幾何作圖問題之一,即求作一個正方形,使其面積等於已知圓的面積。其難度在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規。最早研究這問題的是安納薩戈拉斯,他因「不敬神」的罪名被捕入獄,在獄中潛心研究化圓為方問題,可惜他的結果失傳了。以後著名的研究者更有希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等人。

2研究

標尺作圖問題曾吸引許多人研究,但無一成功。化圓為方問題,實際上就是用直尺圓規作出線段π的問題。1882年法國數學家林 德曼(1852-1939)證明了π是超越數,同時證明了圓為方問題是標尺作圖不可能的問題。因為十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位,則標尺可作的線段長必為代數數 。而化圓為方問題相當於求作長為√π的線段,但√π並非代數數,故此線段不可作。

3歷史

公元前5世紀,古希臘哲學家安那薩哥拉斯因為發現太陽是個大火球,而不是阿波羅神,犯有「褻瀆神靈罪」而被投入監獄。在法庭上,安那薩哥拉斯申訴道:「哪有什麼太陽神阿波羅啊!那個光耀奪目的大球,只不過是一塊火熱的石頭,大概有伯羅奔尼撒半島那麼大;再說,那個夜晚發出清光,晶瑩透亮象一面大鏡子的月亮,它本身並不發光,全是靠了太陽的照射,它才有了光亮。」結果他被判處死刑。
在等待執行的日子了,夜晚,安那薩哥拉斯睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房,他對方鐵窗和圓月亮產生了興趣。他不斷變換觀察的位置,一會兒看見圓比正方形大,一會兒看見正方形比圓大。最後他說:「好了,就算兩個圖形面積一樣大好了。」
安那薩哥拉斯把「求作一個正方形,使它的面積等於已知的圓面積」作為一個尺規作圖問題來研究。起初他認為這個問題很容易解決,誰料想他把所有的時間都用上,也一無所獲。
經過好朋友、政治家伯里克利的多方營救,安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監獄中想到的問題公布出來,許多數學家對這個問題很感興趣,都想解決,可是一個也沒有成功。這就是著名的「化圓為方」問題。
2000年前的西坡拉蒂證明了新月形面積,即左圖:
面積(半圓AEC)=面積(扇形AFCO)。
化圓為方問題
他的方法即簡單又高明,這又使得人們充滿完成化圓為方問題的希望。直到林德曼證明了圓周率是超越數以後,才知道是不可能的。
二千年間,儘管對化圓為方問題上的研究 沒有成功,但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐(公元前430)為解決此問題而提出的 「窮竭法」,是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形(或正6邊形),然後每次 將邊數加倍,得內接8、16、32、…邊形,他相信「最後」的正多邊形必與圓周重合, 這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的,但卻提供了求圓面積的近似方法,成為阿基米 德計算圓周率方法的先導,與中國劉徽的割圓術不謀而合,對窮竭法等科學方法的建立產生 直接影響。
其實,若不受標尺的限制,化圓為方問題並非難事,歐洲文藝復興時代的大師,義大利數學家達芬奇(1452-1519)用已知圓為底,圓半徑的1/2為高的圓柱,在平面上滾動一周,所得的矩形,其面積恰為圓的面積,如圖。
所以所得矩形的面積=r/2.2πr=πrr ,然後再將矩形化為等積的正方形即可。
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