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十六、十七世紀數學

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 16、17世紀的歐洲,漫長的中世紀已經結束,文藝復興帶來了人們的覺醒,束縛人們思想自由發展的煩瑣哲學和神學的教條權威逐步被摧毀了。封建社會開始解體,代之而起的是資本主義社會,生產力大大解放。資本主義工場手工業的繁榮和向機器生產的過渡,促使技術科學和數學急速發展。

    例如在航海方面,為了確定船隻的位置,要求更加精密的天文觀測。軍事方面,彈道學成為研究的中心課題。準確時計的製造,運河的開鑿,堤壩的修築,行星的橢圓軌道理論等等,也都需要很多複雜的計算。古希臘以來的初等數學,已漸漸不能滿足當時的需要了。

    在科學史上,這一時期出現了許多重大的事件,向數學提出新的課題。首先是哥白尼提出地動說,使神學的重要理論支柱的地心說發生了根本的動搖。他的弟子雷蒂庫斯見到當時天文觀測日益精密,推算詳細的三角函數表已成為刻不容緩的事,於是開始製作每隔10"的正弦、正切及正割表。當時全憑手算,雷蒂庫斯和他的助手勤奮工作達12年之久,直到死後才由他的弟子奧托完成。

    16世紀下半葉,丹麥天文學家第谷進行了大量精密的天文觀測,在這個基礎上,德國天文學家開普勒總結出行星運動的三大定律,導致後來牛頓萬有引力的發現。

    開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數的圓薄片累積而成,從而求出其體積。這是積分學的前驅工作。

    義大利科學家伽利略主張自然科學研究必須進行系統的觀察與實驗,充分利用數學工具去探索大自然的奧秘。這些觀點對科學(特別是物理和數學)的發展有巨大的影響。他的學生卡瓦列里創立了「不可分原理」。依靠這個原理他解決了許多現在可以用更嚴格的積分法解決的問題。「不可分」的思想萌芽於1620年,深受開普勒和伽利略的影響,是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。

    16世紀的義大利,在代數方程論方面也取得了一系列的成就。塔塔利亞、卡爾達諾、費拉里、邦貝利等人相繼發現和改進三次、四次方程的普遍解法,並第一次使用了虛數。這是自希臘丟番圖以來代數上的最大突破。法國的韋達集前人之大成,創設大量代數符號,用字母代表未知數,改良計算方法,使代數學大為改觀。

    在數字計算方面,斯蒂文系統地闡述和使用了小數,接著納皮爾創製了對數,大大加快了計算速度。以後帕斯卡發明了加法機,萊布尼茨發明了乘法機,雖然未臻於實用,但開闢了機械計算的新途徑。

    17世紀初,初等數學的主要科目(算術、代數、幾何、三角)已基本形成,但數學的發展正是方興未艾,它以加速的步伐邁入數學史的下一個階段:變數數學時期這一時期和前一時期(常稱為初等數學時期)的區別在於前一時期主要是用靜止的方法研究客觀世界的個別要素,而這一時期是用運動的觀點探索事物變化和發展的過程。

    變數數學以解析幾何的建立為起點,接著是微積分學的勃興。這一時期還出現了概率論和射影幾何等新的領域。但似乎都被微積分的強大光輝掩蓋了。分析學以洶湧澎湃之勢向前發展,到18世紀達到了空前燦爛的程度,其內容的豐富,應用之廣泛,使人目不暇接。

    這一時期所建立的數學,大體上相當於現今大學一二年級的學習內容。為了與中學階段的初等數學相區別有時也叫古典高等數學,這一時期也相應叫做古典高等數學時期。

    解析幾何的產生,一般以笛卡兒《幾何學》的出版為標誌。這本書的內容不僅僅是幾何,也有很多代數的問題。它和現在的解析幾何教科書有很大的差距,其中甚至看不到「笛卡兒坐標系」。但可貴的是它引入了革命性的思想,為開闢數學的新園地作出了貢獻。

    《幾何學》的主要功績,可以歸結為三點:把過去對立著的兩個研究對象「形」和「數」統一起來,引入了變數,用代數方法去解決古典的幾何問題;最後拋棄了希臘人的齊性限制;改進了代數符號。

    法國數學家費馬也分享著解析幾何創立的榮譽,他的發現在時間上可能早於笛卡兒,不過發表很晚。他是一個業餘數學家,在數論、概率論、光學等方面均有重要貢獻。他已得到微積分的要旨,曾提出求函數極大極小的方法。他建立了很多數論定理,其中「費馬大定理」最有名,不過只是一個猜想,至今仍未得到證明。

    對概率論的興趣,本來是由保險事業的發展而產生的,但促使數學家去思考一些特殊的概率問題卻來自賭博者的請求。費馬、帕斯卡、惠更斯是概率論的早期創立者,以後經過18、19世紀拉普拉斯、泊松等人的研究,概率論成為應用廣泛的龐大數學分支。

    和解析幾何同時,17世紀在幾何領域內還發生了另一場重大的變革,這就是射影幾何的建立。決定性的進步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了無窮遠點、無窮遠線,討論了極點與極線、透射、透視等問題,他所發現的「德扎格定理」是全部射影幾何的基本定理。

    帕斯卡1640年發表的《圓錐曲線論》,是自阿波羅尼奧斯以來圓錐曲線論的最大進步。可是當時的數學家大多致力於分析學的研究,射影幾何沒有受到重視,直到18世紀末才重新引起人們的注意。

    17世紀是一個創作豐富的時期,而最輝煌的成就是微積分的發明。它的出現是整個數學史也是整個人類歷史的一件大事。它從生產技術和理論科學的需要中產生,同時又回過頭來深刻地影響著生產技術和自然科學的發展。微積分對於今天的科技工作者來說,已經象布帛菽粟一樣,須臾不可離了。

    微積分是經過了長時間的醞釀才產生的。積分的思想,早在阿基米德時代已經萌芽,16、17世紀之交,開普勒、卡瓦列里、費馬、沃利斯特別是巴羅等人作了許多準備工作。作為微分學中心問題的切線問題的探討,卻是比較晚的事,因而微分學的起點遠遠落在積分學之後。

    17世紀的著名數學家(主要是法國)如費馬、笛卡兒、羅貝瓦爾、德扎格等人都曾捲入「切線問題」的論戰中。笛卡兒和費馬認為切線是當兩個交點重合時的割線。而羅貝瓦爾則從運動的角度出發,將切線看作描畫這曲線的運動在這點的方向,這觀點至今在力學上還有實際意義。

   牛頓、萊布尼茨的最大功勞是將兩個貌似不相關的問題聯繫起來,一個是切線問題(微分學的中心問題),一個是求積問題(積分學的中心問題),建立起兩者之間的橋樑,用微積分基本定理或者「牛頓—萊布尼茨公式」表達出來。

    在牛頓1665年5月20日(格里曆31日)手寫的一頁文件中,有微積分的最早記載,但他的工作長久沒有人知道,直到1687年才用幾何的形式摘記在他的名著《自然哲學的數學原理》中。牛頓建立微積分主要從運動學的觀點出發,而萊布尼茨則是從幾何學的角度去考慮。特別和巴羅的「微分三角形」有密切關係。

    萊布尼茨第一篇微分學的文章1684年在《學藝》上發表,第一篇積分學的文章1686年在同一雜誌發表。他所創設的符號遠優於牛頓,故為後世所沿用。它的理論很快就得到洛必達、伯努利家族和歐拉等人的繼承和發揚光大,到18世紀進入了一個豐收的時期。

    任何一項重大發明,都不可能一開始便完整無瑕。17世紀的微積分帶有嚴重的邏輯困難,以致受到多方面的非議。它的基礎是極限論,而牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什麼,無窮小是什麼,這在當時是帶有根本性質的難題。儘管如此,微積分在實踐方面的勝利,足以令人信服。大多數數學家暫時擱下邏輯基礎不顧,勇往直前地去開拓這個新的園地。

    17世紀數學發展的特點,可以概括如下。

    產生了幾個影響很大的新領域,如解析幾何、微積分、概率論、射影幾何等。每一個領域都使古希臘人的成就相形見絀。

    代數化的趨勢,希臘數學的主體是幾何學,代數的問題往往也要用幾何方法去論證。17世紀的代數學比幾何學佔有更重要的位置,它衝破希臘人的框框,進一步向符號代數轉化,幾何問題常常反過來用代數方法去解決。

    出現了大量新概念,如無理數、虛數、瞬時變化率、導數、積分等等,都不是經驗事實的直接反映,而是由數學理論進一步抽象所產生。

    數學和其他自然科學的聯繫更加緊密,實驗科學(從伽利略開始)的興起,促進數學的發展,而數學的成果又滲透到其他科學部門中去。許多數學家,如牛頓、萊布尼茨、笛卡兒、費馬等,本身也都是天文學家、物理學家或哲學家。

    數學知識廣泛交流傳播,希臘時代只有少數人在研究數學,直到16世紀,情況並無多大改變。17世紀研究人員大增,學術團體(學會或學院)相繼成立,加上印刷業的興旺發達,數學知識得到普遍的推廣和應用。

    總的來說,17世紀是許多新興科目的始創階段,而18世紀是充實和發揚階段,19世紀是回顧、推廣和改革階段,並以嶄新的姿態進入下一個世紀。

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