標籤:因式分解十字相乘法

十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。要務必注意各項係數的符號。

1現狀

有的地區教材已經不存在(如:人教初中數學全冊、北師大版初中二年級數學全冊和青島版初中數學),但仍然能在上述教材使用地區的試卷中見到。(初中二三年級只要掌握形如x²+5x+6=0,(x+2)(x+3),解得:X1=-2,X2=-3,就足夠使用了)

2概念

十字相乘法的方法簡單來講就是:十字左邊相乘等於二次項,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。
十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。對於形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式來說,方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積a1·a2,把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1·c2,並使a1c2+a2c1正好是一次項的係數b,那麼可以直接寫成結果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在運用這種方法分解因式時,要注意觀察,嘗試,並體會它實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時,往往需要多次試驗,務必注意各項係數的符號。基本式子:x²+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)。
十字相乘法

  十字相乘法

十字相乘法

3通俗方法

例:
a²x²+ax-42
首先,我們看看第一個數,是a²,代表是兩個a相乘得到的,則推斷出(a ×+?)×(a ×+?)
然後我們再看第二項,+a 這種式子是經過合併同類項以後得到的結果,所以推斷出是兩項式×兩項式。
再看最後一項是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
首先,21和2無論正負,合併后都不可能是1 只可能是-19或者19,所以排除後者。
然後,再確定是-7×6還是7×-6.
(a×-7))×(a×+6)=a²-a-42(計算過程省略,)
得到結果與原來結果不相符,原式+a 變成了-a
再算:
(a×+7)×(a×+(-6))=a²+a-42
正確,所以a²x²+ax-42就被分解成為(ax+7)×(ax-6),這就是通俗的十字相乘法分解因式.

4例題解析

例2
把6x^2-7x-5分解因式.
分析:按照例1的方法,分解二次項係數6及常數項-5,把它們分別排列,可有8種不同的排列方法,其中的一種
2 1
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正確的,因此原多項式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:通過例1和例2可以看到,運用十字相乘法把一個二次項係數不是1的二次三項式因式分解,往往要經過多次觀察,才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對於二次項係數是1的二次三項式,也可以用十字相乘法分解因式,這時只需考慮如何把常數項分解因數.例如把x²+2x-15分解因式,十字相乘法是
1 -3
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式,只有先進行多項式的乘法運算,把變形后的多項式再因式分解.
問:以上乘積的因式是什麼特點,用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答:第二個因式中的前兩項如果提出公因式2,就變為2(x-y),它是第一個因式的二倍,然後把(x-y)看作一個整體進行乘法運算,可把原多項式變形為關於(x-y)的二次三項式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1 -2
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:將元x、y換成(x+y),以(x+y)為元,這就是「換元法」。
例6
某高校2006年度畢業學生7650名,比上年度增長2%,其中本科畢業生比上年度減少2%,而研究生畢業數量比上年度增加10%,那麼,這所高校今年(2006)畢業的本科生有多少人?
解:去年畢業生一共7500人,7650÷(1+2%)=7500人。
本科生:-2%………8%
…………………2%
研究生:10%……… -4%
本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。
去年的本科生:7500×2/3=5000
今年的本科生:5000×0.98=4900
答:這所高校今年畢業的本科生有4900人。
例8
解一元二次方程:把2x²-7x+3分解因式。
分析:先分解二次項係數,分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然後交叉相乘,求代數和,使其等於一次項係數。
分解二次項係數(只取正因數):
2=1×2=2×1;
分解常數項: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況:
1 1
2 3
1×3+2×1=5
1 3
2 1
1×1+2×3=7
1 -1
2 -3
1×(-3)+2×(-1) =-5
1 -3
2 -1
1×(-1)+2×(-3) =-7
經過觀察,第四種情況是正確的,這是因為交叉相乘后,兩項代數和恰等於一次項係數-7.
解 :2x²-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,對於二次三項式ax²+bx+c(a≠0),
如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積,
即a=a1a2,
常數項c可以分解成兩個因數之積,
即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,
排列如下:
a1 c1
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜線交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,
若它正好等於二次三項式ax2+bx+c的一次項係數b,
即a1c2+a2c1=b,
那麼二次三項式就⒂可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積,
即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
例2
把6x²-7x-5分解因式.
分析:按照例1的方法,
分解二次項係數6及常數項-5,
把它們分別排列,
可有8種不相同的排列方法,
其中的一種 21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7
是正確的,因此原多項式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x²-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:通過例1和例2可以看到,
運用十字相乘法把一個二次項係數不是1的二次三項式因式分解,
往往要經過多次觀察,
才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對於二次項係數是1的二次三項式,
也可以用十字相乘法分解因式,
這時只需考慮如何把常數項分解因數.
例如把x²+2x-15分解因式,
十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2
所以x²+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x²+6xy-8y^2分解因式.
分析:這個多項式可以看作是關於x的二次三項式,
把-8y^2看作常數項,
在分解二次項及常數項係數時,
只需分解5與-8,用十字交叉線分解后,
經過觀察,選取合適的一組,
即 12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6
解 5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解為兩個關於x,y的一次式.

例9

把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式,
只有先進行多項式的乘法運算,
把變形后的多項式再因式分解.
問:兩上乘積的因式是什麼特點,用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答:第二個因式中的前兩項如果提出公因式2,就變為2(x-y),它是第一個因式的二倍,然後把(x-y)看作一個整體進行乘法運算,可把原多項式變形為關於(x-y)的二次三項式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ²-3(x-y)-2
1-2╳ 21
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:把(x-y)看作一個整體進行因式分解,
這又是運用了數學中的「整體」思想方法.例5x²+2x-15
分析:常數項(-15)<0,可分解成異號兩數的積,
可分解為(-1)(15),或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5),
其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2。 =(x-3)(x+5)
總結:①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;
常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和.
因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 時,
那麼 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d
(1) (x+3)(x-6)=-8
(2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0
(4)x^2-2( + )x+4=0
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x²-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x²+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解。
注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。
(3)解:6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。
(4)解:x²-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 ·2 ,∴此題可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
例題x²-x-2=0
解:(x+1)(x-2)=0
∴x+1=0或x-2=0
∴x1=-1,x2=2
(附:^是數學符號,例:3²=3×3=9)

5教學重點

重點:正確地運用十字相乘法把某些二次項係數不是1的二次三項式分解因式;

6教學難點

難點:靈活運用十字相乘法分解因式.

7原理

一個集合中的個體,只有2個不同的取值,部分個體取值為A,剩餘部分取值為B。平均值為C。求取值為A的個體與取值為B的個體的比例。假設總量為S, A所佔的數量為M,B為S-M。
則:[A*M+B*(S-M)]/S=C
A*M/S+B*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此:M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的計算過程可以抽象為:
A ………C-B
……C
B……… A-C
這就是所謂的十字相乘法。X增加,平均數C向A偏,A-C(每個A給B的值)變小,C-B(每個B獲得的值)變大,兩者如上相除=每個B得到幾個A給的值。即比例,以十字相乘法形式展現更加清晰

8注意事項

第一點:用來解決兩者之間的比例問題。
第二點:得出的比例關係是基數的比例關係。
第三點:總均值放中央,對角線上,大數減小數,結果放在對角線上。

  

9具體應用

雙十字相乘法是一種因式分解方法。對於型如 Ax²;+Bxy+Cy²;+Dx+Ey+F 的多項式的因式分解,常採用的方法是待定係數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題,若採用「雙十字相乘法」(主元法),就能很容易將此類型的多項式分解因式。
例:3x²;+5xy-2y²;+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因為3=1×3,-2=2×(-1),-4=(-1)×4,
而1×(-1)+3×2=5,2×4+(-1)(-1)=9,1×4+3×(-1)=1
要訣:把缺少的一項當作係數為0,0乘任何數得0,
例:ab+b²+a-b-2
=0×1×a²+ab+b²+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
提示:設x²=y,用拆項法把cx²拆成mx²與ny之和。
例:2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)
分解二次三項式時,我們常用十字相乘法.對於某些二元二次六項式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3.我們將上式按x降冪排列,並把y當作常數,於是上式可變形為
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3),
可以看作是關於x的二次三項式.
對於常數項而言,它是關於y的二次三項式,也可以用十字相乘法,分解為
-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法對關於x的二次三項式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3.
這就是所謂的雙十字相乘法.也是俗稱的主元法
用雙十字相乘法對多項式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f進行因式分解的步驟是:
⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²,得到一個十字相乘圖(有兩列);
⑵把常數項f分解成兩個因式填在第三列上,要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey,第一列、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx.
我們把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式,並用f(x),g(x),…等記號表示,如
f(x)=x²-3x+2,g(x)=x^5+x²+6,…,
當x=a時,多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.
定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根,即f(a)=0成立,則多項式f(x)有一個因式x-a.
根據因式定理,找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對於任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的,然而當多項式f(x)的係數都是整數時,即整係數多項式時,經常用下面的定理來判定它是否有有理根.
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