標籤:代數系統

半群是一種特殊的代數系統,在形式語言,自動機等領域都有具體應用。

1半群定義

定義1:對於某非空集合S ,若存在S上的二元運算"*"使得對於任意的a,b∈S,有a*b∈S(運算封閉),則稱{S, *}為廣群。
定義2:若{S, *}為廣群,且*在S上滿足結合律,則稱{S, *}為半群。
定理1:設{S, *}是一個半群,B包含於S且*在B上封閉,則{B, *}也是一個半群,通常稱為{S, *}的子半群。
定理2:若{S, *}為半群,且S是有限集,則必有元a∈S, 使a*a=a。
定理說明有限半群必有冪等元。
定義3:含有幺元的半群稱為幺半群。有時幺半群也記{S, *,e}。
定理3:設{S, *}為幺半群,則關於*的運算表中任何兩行或兩列都不同。
定理4:{S, *}為幺半群,若對任a, b∈S,有逆元aˉ1, bˉ1, 則
1)(aˉ1)ˉ1 = a
2)a*b有逆且(a*b)ˉ1 = bˉ1 * aˉ1。

2半群的例

(Z,+),(Z,×),
(N,×),(N,+),
(Q,+),(R,×),
(Zn,+),(Zn,×)
(P(S),∪),(P(S), ∩),
(Mn,+),(Mn,×),
(F[x], +), (F[x], ×),
S上全體映射,對於複合,
(L,∧),(L,∨),L是格
(A*, ),
A* 是A中字元組成的字元串,
是連接運算,
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