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卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯

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卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯(1815.10.31—1897.2.19日),生於威斯特法倫的奧斯滕費爾德,德國數學家,給函數的極限建立了嚴格的定義,被譽為「現代分析之父」。

  卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯(Weierstrass,Karl Theodor Wilhelm,1815.10.31-1897.2.19),德國數學家。生於德國西部威斯特伐利里的小村落奧斯滕費爾德,卒於柏林。

1 卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯 -生平簡介

  父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國雇傭的海關職員,威廉在家裡十分嚴厲而且專斷。14歲卡爾進附近帕德博恩城的一所天主教預科學校學習,在那裡學習德語、拉丁語、希臘語和數學。中學畢業時成績優秀,共獲7項獎,其中包括數學,但不容卡爾有半句分辯,他的父親卻把他送到波恩大學去學習法律和商業,希望他將來在普魯士民政部當一名文官。
  魏爾斯特拉斯對商業和法律都毫無興趣。在波恩大學他把相當一部分時間花在自學他所喜歡的數學上,攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學》在內的一些名著。他在波恩的另一部分時間則花在了擊劍上。魏爾斯特拉斯體魄魁偉,擊劍時出手準確,加上旋風般的速度,很快就成為波恩人心目中的擊劍明星。這樣在波恩大學度過四年之後,魏爾斯特拉斯回到家裡,沒有得到他父親所希望的法律博士學位,連碩士學位也沒有得到。這使他父親勃然大怒,呵斥他是一個「從軀殼到靈魂都患病的人」。這時多虧他家的一位朋友建議,魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準備教師資格考試。1841年,他正式通過了教師資格考試。在這期間,他的數學老師居德曼認識到他的才能。居德曼(C.Gudermann)是一位橢圓函數論專家,他的橢圓函數論給了魏爾斯特拉斯很大影響,魏爾斯特拉斯為通過教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數的冪級數展開。居德曼在這篇論文的評語中寫道:「論文顯示了一位難得的數學人才,只要不被埋沒荒廢,一定會對科學的進步作出貢獻」。
  居德曼的評語並沒有引起任何重視,魏爾斯特拉斯在獲得中學教師資格后開始了漫長的中學教師生活。他在兩處偏僻的地方中學度過了包括30歲到40歲的這段數學家的黃金歲月。他在中學不光是教數學,還教物理、德文、地理甚至體育和書法課,而所得薪金連進行科學通信的郵資都付不起。但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力,過著一種雙重的生活。他白天教課,晚上攻讀研究阿貝爾等人的數學著作,並寫了許多論文。其中有少數發表在當時德國中學發行的一種不定期刊物「教學簡介」上,但正如魏爾斯特拉斯後來的學生、瑞典數學家米塔。列夫勒所說的那樣:「沒有人會到中學的教學簡介中去尋找有劃時代意義的數學論文」。不過魏爾斯特拉斯這一段時間的業餘研究,卻奠定了他一生數學創造的基礎。
  而且,這一段當時看起來默默無聞的生活,其實蘊含著巨大的力量——這就不得不提到魏爾斯特拉斯一個最大的特點:他不僅是一位偉大的數學家,而且是一位傑出的教育家!他是如此熱愛教育事業,如此愛護他的學生,以致先不要提他日後培養出的一大批有成就的數學人才(其中最著名的有:柯瓦列夫斯卡婭(1850.1.15-1891.2.10,俄國女數學家、作家、政論家)、H.A.施瓦茨(Schwarz,Hermann Amandus,1843.1.25-1921.11.30,法國數學家)、I.L.富克斯(Fuchs,Immanuel Lazarus,1833.5.5-1902.4.26,法國數學家)、M.G.米塔-列夫勒(Mittag-Leffler,Magnus Gustaf,1846.3.16-1927.7.7,瑞典數學家)、F.H.朔特基(Schottky,Friedrich Hermann,1851.7.24-1935.8.12,法國數學家)、L.柯尼希貝格(Konigsberger,Leo,1837.10.15-1921.12.15,法國數學家)等。 ),即便是在這偏僻的中學當預科班的數學老師的時候,他為了能夠讓自己的學生們更好地理解微積分中最重要的極限概念,而改變了柯西等人當時對極限的定義,創造了著名的、直到今天大學數學分析教科書中一直沿用的極限的ε-δ定義,以及完整的一套類似的表示法,使得數學分析的敘述終於達到了真正的精確化。
  一直到1853年,魏爾斯特拉斯將一篇關於阿貝爾函數的論文寄給了德國數學家克雷爾主辦的《純粹與應用數學雜誌》(常常簡稱《數學雜誌》),這才使他時來運轉。克雷爾的雜誌素以向有創造力的年青數學家開放而著稱。阿貝爾的論文在受到柯西等名家冷落的情況下卻被克雷爾雜誌在1827年刊登出來;雅可比的橢圓函數論論文、格林的位勢論論文等數學史上的重要文獻,也都是在別處得不到發表而在克雷爾的幫助下用他的雜誌發表的。這一次克雷爾又出場了。他接受了魏爾斯特拉斯的論文並在第二年就發表出來,隨即引起了轟動。哥尼斯堡大學一位數學教授親自到魏爾斯特拉斯當時任教的布倫斯堡中學向他頒發了哥尼斯堡大學博士學位證書。普魯士教育部宣布晉陞魏爾斯特拉斯,並給了他一年假期帶職從事研究。此後,他再也沒有回到布倫斯堡。1856年,也就是他當了15年中學教師后,魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業大學數學教授,同年被選進柏林科學院。他後來又轉到柏林大學任教授直到去世。

2 卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯 -學術貢獻

  1、在解析函數方面
  他用冪級數來定義解析函數,並建立了一整套解析函數理論,與柯西(Cauchy,Augustin-Louis ,1789.8.21-1857.5.23)、黎曼(Riemann,Georg Friedrich Bernhard ,1826.9.17-1866.7.20)一起被稱為函數論的奠基人。從已知的一個在限定區域內定義一個函數的冪級數出發,根據冪級數的有關定理,推導出在其它區域中定義同一函數的另一些冪級數,這是他的一項重要發現。他把整函數定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級數的和的函數;還斷定,若整函數不是多項式,則在無窮遠點有一個本性奇點。魏爾斯特拉斯關於解析函數的研究成果,組成了現今大學數學專業中複變函數論的主要內容。
  2、在橢圓函數方面
  橢圓函數是雙周期亞純函數,是從求橢圓弧長引起的。有關研究是19世紀的熱門課題。繼阿貝爾、雅克比之後,魏爾斯特拉斯在這方面作出了巨大貢獻。1882年,他將橢圓函數分別化成含有一個三次多項式的平方根的3個不同形式,把通過「反演」的第一個積分所得的橢圓函數作為基本的橢圓函數,還證明了這是最簡單的雙周期函數。他證明了每個橢圓函數均可用這個基本橢圓函數和它的導函數簡單地表示出來。總之,魏爾斯特拉斯把橢圓函數論的研究推到了一個新的水平,進一步完備了、改寫了、並且美化了其理論體系。
  3、在代數領域
  1858年,他對同時化兩個二次型成平方和給出了一般方法,並證明了若二次型之一是正定的,即使某些特徵值相等,這個化簡也是可能的。1868年,他已完成二次型的理論體系,並將這些結果推廣到了雙線性型。
  4、在變分學方面
  1879年,他證明了弱變分的3個條件,即函數取得極小值的充分條件。此後,他轉向了強變分問題,並得到了強變分的極大值的充分條件。在變分學方面還得到了不少的其它成果。
  5、在微分幾何方面
  魏爾斯特拉斯研究了側地線和最小曲面。
  6、在數學分析方面
  在數學史上,魏爾斯特拉斯關於分析嚴格化的貢獻使他獲得了「現代分析之父」的稱號。他是把嚴格的論證引進分析學的一位大師,為分析嚴密化作出了不可磨滅的貢獻,是分析算術化運動的開創者之一。這種嚴格化的突出表現是創造了一套 語言,用以重建分析體系。他批評柯西等前人採用的「無限地趨近」等說法具有明顯的運動學含義,代之以更嚴密的 表述,用這種方式重新定義了極限、連續、導數等分析基本概念,特別是通過引進以往被忽視的一致收斂性而消除了微積分中不斷出現的各種異議和混亂。可以說,數學分析達到今天所具有的嚴密形式,本質上歸功於魏爾斯特拉斯的工作。
  他證明了(1860):任何有界無窮點集,一定存在一個極限點。早在1860年的一次演講中,他從自然數導出了有理數,然後用遞增有界數列的極限來定義無理數,從而得到了整個實數系。這是一種成功地為微積分奠定理論基礎的理論。
  為了說明直覺的不可靠,1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏林科學院的一次講演中,構造了一個連續函數卻處處不可微的例子,由此一舉改變了當時一直存在的「連續函數必可導」的重大誤解,震驚了整個數學界!這個例子推動了人們去構造更多的函數,這樣的函數在一個區間上連續或處處連續,但在一個稠密集或在任何點上都不可微,從而推動了函數論的發展。
  早在1842年,魏爾斯特拉斯就有了一致收斂的概念,並利用這一概念給出了級數逐項積分和在積分號下微分的條件。
  1885年,魏爾斯特拉斯所證明的用多項式任意逼近連續函數的定理,是二十世紀的一個廣闊研究領域函數構造論,即函數的逼近與插值理論的出發點之一。
  另外,魏爾斯特拉斯還研究了天文學中的n體問題和光的理論。

3 卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯 -教育上的貢獻

  魏爾斯特拉斯熱愛數學,熱愛教育事業,熱情指導學生,終身孜孜不倦。他不計個人名利,允許學生們或別人把他的研究成果用種種方式傳播,而不計較功績誰屬的問題,這種高貴品德也是十分可貴的。他培養出了一大批有成就的數學人才,尤其是世界歷史上第一位數學女博士:柯瓦列夫斯卡婭(Софья Васильевна Ковалевская,1850年1月15日-1891年2月10日,俄國女數學家。德國格丁根大學哲學博士。曾任瑞典斯德哥爾摩大學教授。在偏微分方程和剛體旋轉理論等方面有重要貢獻。1888年因解決剛體繞定點旋轉問題而獲得法蘭西科學院鮑廷獎,並成為聖彼得堡科學院院士,是俄國歷史上獲此稱號的第一個女性。)。
  要知道,在當時的整個歐洲社會風氣下,大多數人反對婦女受正規教育,婦女根本不能進大學的門!柯瓦列夫斯卡婭為了能在彼得堡進大學聽課,是付出了「假結婚」的代價,才脫離了父母的監護和控制。可即便如此,她在彼得堡也只能當一個偷偷摸摸的旁聽生,在丈夫、親戚和好心的同學們掩護下,一次次躲過學校監察人員的眼睛。而當她和丈夫來到德國以後,雖然聽課的自由基本是有了,可無論是正式入學,還是參加考試,身為一個女性都面臨著極為嚴苛的歧視。柯瓦列夫斯卡婭雖然表現了極好的人品以及數學天賦,可是在海德堡卻找不到一位數學教授能夠收她為弟子,因為人言可畏。
  於是柯瓦列夫斯卡婭不得不直接來柏林求助於人品有口皆碑的魏爾斯特拉斯。在親自考查並寫信詢問了海德堡這個特殊的女學生的數學專業能力以及人品后,魏爾斯特拉斯深深為索菲婭・柯瓦列夫斯卡婭的抱負所感動。於是他決定單獨在家裡教授她(因為他自己的學生里就有不少堅決反對女子入學的)——這一教,就是四年!
  四年裡,一直都是魏爾斯特拉斯在課堂講一遍,再回家裡為柯瓦列夫斯卡婭單獨講一遍。四年中,索菲婭・柯瓦列夫斯卡婭不僅完成了所有大學課程,而且還完成了三篇重要的數學論文,而這時她才23歲。這三篇論文每一篇都足以使她獲得「數學家」的稱號。於是,又是魏爾斯特拉斯親自張羅,才讓既是受歧視的女性、又是德語並不純熟的「外來戶」的柯瓦列夫斯卡婭順利拿到了數學博士學位。而未來這個女學生的成就,足以證明她導師愛惜人才、培養人才的眼光之准,心胸之寬闊。
  魏爾斯特拉斯很少正式發表自己的研究成果,他的許多思想和方法主要是通過他在柏林工業大學和柏林大學的課堂講授而傳播的,其中有一些後來由他的學生整理髮表出來。在1857年開始的解析函數論課程中,魏爾斯特拉斯給出了第一個嚴格的實數定義,這個定義大意是先從自然數出發定義正有理數,然後通過無窮多個有理數的集合來定義實數。像大多數情況一樣,魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授。1872年,有人曾建議他發表這一定義,但被魏爾斯特拉斯拒絕了。
  他高尚的風範和精湛的教學藝術是永遠值得全世界數學教師學習的光輝典範。1873年魏爾斯特拉斯出任柏林大學校長,從此成為大忙人。除教學外,公務幾乎佔去了他全部時間,使他疲乏不堪。緊張的工作影響了他的健康,但其智力未見衰退。他的70年誕慶典規模頗大,遍布全歐各地的學生趕來向他致敬。10年後80大壽慶典更加隆重,在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄。1897年初,他染上流行性感冒,後轉為肺炎,終至不治,於2月19日溘然上逝,享年82歲。
  除柏林科學院外,魏爾斯特拉斯還是格丁根皇家科學學會會員(1856)、巴黎科學院院士(1868)、英國皇家學會會員(1881)。

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