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1545年,卡爾丹在他的學術著作《大法》中,公布了一元三次方程的求解方法即卡爾丹公式,由此引進了虛數的概念,後來經過許多數學家的努力發展成了複數的理論。卡爾丹是第一個把負數寫在二次根號內的數學家。

 

1 卡爾丹公式 -概念

人類很早就掌握了一元二次方程的解法,但是對一元三次方程的研究,則是進展緩慢。古代中國、希臘和印度等地的數學家,都曾努力研究過一元三次方程,但是他們所發明的幾種解法,都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程,對一般形式的三次方程就不適用了。

2 卡爾丹公式 -歷史

在十六世紀的歐洲,隨著數學的發展,一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數學文獻上,把三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」,這顯然是為了紀念世界上第一位發表一元三次方程求根公式的義大利數學家卡爾丹諾。那麼,一元三次方程的通式解,是不是卡爾丹諾首先發現的呢?歷史事實並不是這樣。

數學史上最早發現一元三次方程通式解的人,是十六世紀義大利的另一位數學家尼柯洛·馮塔納(Niccolo Fontana)。 馮塔納出身貧寒,少年喪父,家中也沒有條件供他念書,但是他通過艱苦的努力,終於自學成才,成為十六世紀義大利最有成就的學者之一。由於馮塔納患有「口吃」症,所以當時的人們昵稱他為「塔爾塔里亞」(Tartaglia), 也就是義大利語中「結巴」的意思。後來的很多數學書中,都直接用「塔爾塔里亞」來稱呼馮塔納。

經過多年的探索和研究,馮塔納利用十分巧妙的方法,找到了一元三次方程一般形式的求根方法。這個成就,使他在幾次公開的數學較量中大獲全勝,從此名揚歐洲。但是馮塔納不願意將他的這個重要發現公之於世。

當時的另一位義大利數學家兼醫生卡爾丹諾,對馮塔納的發現非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教,希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶,滴水不漏。雖然卡爾丹諾屢次受挫,但他極為執著,軟磨硬泡地向馮塔納「挖秘訣」。後來,馮塔納終於用一種隱晦得如同咒語般的語言,把三次方程的解法「透露」給了卡爾丹諾。馮塔納認為卡爾丹諾很難破解他的「咒語」,可是卡爾丹諾的悟性太棒了,他通過解三次方程的對比實踐,很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。

卡爾丹諾把馮塔納的三次方程求根公式,寫進了自己的學術著作《大法》中,但並未提到馮塔納的名字。隨著《大法》在歐洲的出版發行,人們才了解到三次方程的一般求解方法。由於第一個發表三次方程求根公式的人確實是卡爾丹諾,因此後人就把這種求解方法稱為「卡爾丹諾公式」。

卡爾丹諾剽竊他人的學術成果,並且據為已有,這一行為在人類數學史上留下了不甚光彩的一頁。這個結果,對於付出艱辛勞動的馮塔納當然是不公平的。但是,馮塔納堅持不公開他的研究成果,也不能算是正確的做法,起碼對於人類科學發展而言,是一種不負責任的態度。

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方裡面的內容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:

(1)將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由於x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化為

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化簡得

(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3

(7)這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即

(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)對比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化為

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

將(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入(11)可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式 (14)只是一元三方程的一個實根解,按韋達定理一元三次方程應該有三個根,不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了。

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