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卡瓦列利原理

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在數學上,卡瓦列利以他的不可分量方法而聞名。這個方法的基本思想是:線是有無窮多個點構成的,面是由無窮多條線構成的,立體是由無窮多個平面構成的。點、線、面分別就是線、面、體的不可分量。在《幾何學》第7卷定理1,卡瓦列利通過比較兩個平面或立體圖形的不可分量之間的關係來獲得這兩個平面或立體圖形的面積或體積之間的關係,這就是著名的卡瓦列利定理(又稱卡瓦列利原理)。

1直線

夾在兩條平行直線之間的兩個平面圖形,被平行於這兩條直線的任意直線所截,如果所得的兩條截線長度相等,那麼,這兩個平面圖形的面積相等;

2平面

夾在兩個平行平面之間的兩個立體圖形,被平行於這兩個平面的任意平面所截,如果所得的兩個截面面積相等,那麼,這兩個立體圖形的體積相等。
卡瓦列利將定理中的相互比較的兩個平面或立體圖形稱為「類比圖」(analogues)。他首先證明定理的第一部分,即兩個平面類比圖面積相等。
如圖3-1-1所示。設夾在兩平行線PQ、RS之間有兩個平面圖形ABC和XYZ.其中不妨設ABC有一空的部分FfGg。任作兩條平行於PQ、RS的直線DN、OU,DN截兩圖所得的截線分別為JK和LM,JK=LM;OU截ABC得兩條截線段EF和GH,截XYZ得截線段TV,EF+GH=TV。
沿PQ、RS平移圖形ABC,將它疊置於圖形XYZ之上(圖中A與X兩點重合)。如果ABC與XYZ完全重合,那麼顯然它們的面積相等;如果ABC於XYZ不完全重合,那麼ABC的某一部分XLhTYC¢M與XYZ的一部分XLhTYC¢M重
合。顯然,ABC的截線EF、GH在ABC平移之後仍在直線OU上,故E¢F¢、TH¢與TV仍在同一直線上。由假設,E¢F¢+TH¢=EF+GH=TV,因此E¢F¢=H¢V.而E¢F¢和H¢V分別在圖形ABC和XYZ和彼此不重合的部分LB¢YTF¢和MC¢Z,Thg(分別稱為ABC和XYZ的剩餘圖形)中。可見,當圖形ABC有一部分不與XYZ重合時,圖形XYZ必剩餘某一部分不與ABC重合。
由於對於ABC的剩餘圖形中的任一平行於PQ,RS的截線段,相應地在XYZ的剩餘圖形中都有一條與之共線的截線段(如果剩餘圖形有若干部分,則截線可能不止一條),因此ABC與XYZ的剩餘圖形必夾在同樣的兩條平行線之間。又因為它們中的對應截線段相等(E¢F¢=H¢V),因此ABC、XYZ的剩餘圖形滿足ABC和XYZ所滿足的條件,他們仍為類比圖。
然後,沿RS平移ABC的剩餘圖形LB¢YTF¢,將它疊置於XYZ的剩餘圖形之上,使其一部分VB¢¢Z與MC¢Z的一部分VB¢¢Z重合。則和前面一樣可證明其中一個有剩餘圖形時,另一個必有剩餘圖形,這些剩餘圖形夾在同樣的兩條平行線之間,並且對應截線段相等。設L¢VZY¢G¢¢F¢¢是LB¢YTF¢的剩餘圖形,而MC¢B¢¢V,Thg為MC¢Z,Thg的剩餘圖形,則他們是夾在DN、RS之間的類比圖。然後再沿RS平移L¢VZY¢G¢¢F¢¢,將它疊置於MC¢B¢¢V和Thg上。不難理解,同樣的步驟可以不斷進行下去,直到整個圖形ABC被疊置完。根據前面的證明,此時XYZ也不再有剩餘圖形了。這樣,ABC於XYZ的部分圖形相繼重合,直到最後所有部分均重合。從而ABC與XYZ面積相等。
若將上述證明中的ABC和XYZ改為立體圖形,截線相應改為截面,則同樣可以證明定理的第二部分,即兩立體類比圖體積相等。

3中學數學試驗教材

卡瓦列利運用上述定理求得了許多平面圖形的面積和立體圖形的體積,其中包括球體積。中學數學試驗教材之前的很長時間裡,中國的立體幾何教材一直採用卡瓦列利的方法來推導球體積公式。
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