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卡當:義大利數學家、醫生,並在醫學、哲學、物理學和星占學中都有一定成就。

1卡當簡介

卡當
卡當(1501—1576)義大利數學家、醫生,並在醫學、哲學、物理學和星占學中都有一定成就。1545年著《大術》首先介紹了從塔爾塔利亞那裡得來的三次方程的解法,他和學生費拉里發現的四次方程的解法。

2卡當生平

卡當1501年9月24日生於義大利帕維亞。他的童年相當不幸,這就造成了他個性孤僻,、自負,並且往往在言談中,表現得冷漠無情。他為了逃避窮困、病痛、毀謗和不公平的待遇,曾在25年之中,每天玩骰子,並天天玩棋達40年之久。
青年時代,他致力於研究數學、物理。從帕維亞大學醫學院畢業后,在波隆納和米蘭行醫並教授他人醫術,成為全歐有名的醫生。這期間,他也受聘在義大利的多所大學,擔任數學講座教師。

3卡當的經歷

卡當的坎坷經歷使他的性格頗為奇特,因而常常被描述為科學史上的怪人。他在數學、哲學、物理學和醫學中都有一定成就,同時也一直醉心於占星術和賭博的研究。卡當被譽為百科全書式的學者,他的著作涵蓋了數學、天文學、占星學、物理學、醫學以及關於道德方面的語錄。一生共寫了各種類型的文章、書籍200多種.現存的材料就有約7000頁。
他智力超群,但性情孤僻,職業動蕩多變,著述魚龍混雜。除了作為正式職業的著名醫生、醫學教授、占星術士外,就他的貢獻而言,人們也常把他稱為數學家、哲學家、物理學家,或者籠統地稱之為科學家。

4卡當在數學上的貢獻

卡當的數學貢獻表現在他對算術和代數的研究,1539年首次出版了他的兩本算術演講書,其中較重要的一部是《算術實踐與個體測量》。書中他主要用數值計算來解決實際問題,在一些計算方法、代數變換中顯示出較高技巧。當時的代數沒有符號,僅靠文字敘述來表示解題過程,稱為「文詞代數」。對於高於二次的代數方程,一般是沒有解決辦法的。卡當在書中列專題論述了多種方程的解法,甚至求得一些特殊三次方程的解。例如:方程6x3- 4x2 = 34x + 24,方程兩邊同時加上6x3 + 20x2,合併后得: 4x2(3x+4) = (2x2+4x+6)(3x+4),兩邊同除以3x+4,則由二次方程解得原方程的一個正根x=3。按當時的習慣,一般不承認方程有負根,解出一個正根就認為是解完了方程。

5卡當的重要著作

卡當最重要的數學著作是1545年出版的《大術》。該書系統給出代數學中的許多新概念和新方法。例如:三、四次代數方程的一般解法;書中首次出現使用符號的雛形。他對三次及四次方程式提出了系統性的解法,這是一個非常重要的成就。他確認高於一次的代數方程多於一個根;已知方程的一個根將原方程降階;方程的根與係數間的某些關係;利用反覆實施代換的方法求得數值方程的近似解;解方程中虛根的使用等等。
在十六世紀初期,數學家們就在尋找三次代數方程的一般解法。其中的代表人物有塔爾塔利亞、卡當、菲奧爾等。塔爾塔利亞研究了x3 + px = q,x3 = px + q 和x3+px2 = q (p,q為正數)三類方程的解法。到1541年已發現x3 ±px2 =±q和由此變換而得到的x3±mx = ±n (m,n為正數) 等多種類型的方程的一般解法。卡當也在研究三次方程的解法,曾向塔爾塔利亞請教,卡當從各方面詳細研究了塔爾塔利亞的解法,並以此為線索,得出各種類型三次方程的解法。他將這些解法收在《大術》中發表出去,同時補充了各種方法的證明。由於《大術》的影響,三次方程的解法還是冠以「卡當公式」流傳開來。卡當公式就是對於不完全三次方程x3 + px + q = 0,其求根公式是:
.
卡當在代數學上的另一個貢獻,是認真地引入了虛數,並接受虛數是方程式的根。虛數的出現,是數學史上一件大事。虛數和原有的實數統稱為複數系。根據代數基本定理,在複數系裡任何多項式必有根,而且n次多項式恰有n個根,這就解決了根的存在性問題。要解出方程式的根,在複數系中,便可迎刃而解了。除了在代數學上的重要成就,卡當在概率論這門學科上,也扮演了奠基的工作。並著有《博奕論》一書。

6卡當另一生平

埃里·卡當,亦譯作埃利·嘉當,全名埃利·約瑟夫·嘉當(Élie Joseph Cartan,1869年4月9日─1951年5月6日),法國數學家。他在李群理論和其集合應用方面奠定基礎。他也對數學物理,微分幾何、群論做出了重大貢獻。
嘉當生於薩瓦的多洛姆厄,在1888年成為巴黎的巴黎高師的一名學生。在1894年取得博士學位后,他在蒙比利艾和里昂任教,並於1903年在南錫當上教授。他在1909年到巴黎任教,並於1912年成為教授,而在1942年退休。他卒於巴黎。數學家亨利·嘉當是他的兒子。曾指導過華人數學家陳省身。

7「科研簡介」的描述

據他自己在「科研簡介」(Notice sur les travaux scientifiques)所作的描述,他的工作(總數達186,發表於1893-1947年間)的主題是李群的理論。他從在復的簡單李代數上的基礎材料上的工作開始,把恩格爾(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing)先前的工作整理起來。這被證明是有決定性意義的,至少對於分類來講,他鑒定出4個主要的族和5個特殊情況。他也引入了代數群的概念,它在1950年之前並沒有被認真的發展過。
他也定義了反對稱微分形式的一般概念,以我們現在所使用的風格;他通過馬尤厄-嘉當方程處理李群的方式要用到2-形式來表達。那時,稱為Pfaffian系統(也就是用1-形式表達的1階微分方程組)的概念很常用;通過引入表示導數的新變數,和額外的微分形式,他們可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系統。嘉當加入了外導數,作為一個完全幾何式的坐標無關的操作。這很自然導致了對於一般的p討論p-形式的需要。嘉當描述了Riquier的一般PDE理論對他的影響。
基於這些基礎 – 李群和微分形式 – 他繼續深入完成了大量工作,以及一些通用的技術,例如移動標架法,這些逐漸融入到數學的主流中。

8「科研簡介」中的領域

在「科研簡介」中,他把自己的工作分成15個領域。用現代術語來描述,他們是:
李群
李群的表示
超複數(Hypercomplex number), 除法代數(division algebra)
PDE系統, Cartan-Kähler定理
等價性理論
可積系統,延長理論(theory of prolongation)和迴旋系統(systems in involution)。
無窮維群和偽群
微分幾何和活動標架法
一般化空間及其上的結構群和聯絡,嘉當聯絡,和樂(holonomy),Weyl張量
李群的幾何和拓撲
黎曼幾何
對稱空間
緊群的拓撲和它們的齊次空間
積分不變數和經典力學
相對論, 旋子
這些課題的大部分被後來的數學家完整的研究了。但不是全部:嘉當自己的方法驚人的統一,但大部分的後續工作可以說失去了他的特色。也就是說,變得更代數化。
看看這些不太主流的領域:
PDE理論必須包含奇異解(也就是包絡]),例如在Clairaut方程中所見到的那樣;
延長方法應該在迴旋系統中中止(這是解析理論,而不是光滑理論,並導向形式化可積性理論和Spencer上同調);
等效性問題,如他所說,是通過把結構的圖像變成微分系統的積分流形來建立它們的微分同胚(並由此發現不變數);
活動標架法,不但和主叢和它們的聯絡有關,也需要使用和幾何相適應的標架;
現在,Ehresmann的jet叢方法被用於把切觸作為系統化的等價關係。
所以,從某種意義上來說,嘉當的工作的獨特的一面仍然正在被數學家們所消化。這可以在諸如變分法,Bäcklund變換和微分系統的一般理論之類的領域中不斷的見到;大致來講,這些是微分代數的那些感到現存的加羅華理論所導出的對稱性模型過於狹窄並需要使用和關係的範疇更類似的東西的部分領域。
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