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以理想氣體為工作物質的可逆卡諾循環,其熱效率僅取決於高溫及低溫兩個熱源的溫度。以熱力學第二定律為基礎,可以將之推廣為適用於任意可逆循環的普遍結論,稱為「卡諾定理」。卡諾定理在導出熱力學第二定律的普遍判據--狀態函數 "S"--中具有重要作用。 熱力學第二定律否定了第二類永動機,效率為1的熱機是不可能實現的,那麼熱機的最高效率可以達到多少呢?從熱力學第二定律推出的卡諾定理正是解決了這一問題。卡諾認為:「所有工作於同溫熱源與同溫冷源之間的熱機,其效率都不能超過可逆機」 ,這就是卡諾定理。

1表述

卡諾定理是卡諾1824年提出來的,其表述如下:
⑴在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切可逆熱機,其效率都相等,與工作物質無關,與可逆循環的種類也無關。
⑵在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切不可逆熱機,其效率都小於可逆熱機的效率。

2卡諾定理

卡諾定理的意義
卡諾定理雖然討論的是可逆機與不可逆機的熱機效率問題,但它具有非常重大的意義。它在公式中引入了一個不等號。前已述及所有的不可逆過程是互相關聯的。由一個過程的不可逆性可以推斷到另一個過程的不可逆性,因而對所有的不可逆過程就可以找到一個共同的判別準則。由於熱功交換的不可逆,而在公式中所引入的不等號,這對於其它過程(包括化學過程)同樣可以使用。就是這個不等號解決了化學反應的方向問題。同時,卡諾定理在原則上也解決了熱機效率的極限值問題。
逆卡諾循環
如果沿卡諾循環相反的方向進行,就形成卡諾製冷循環和卡諾熱泵循環。
對於卡諾製冷循環,工質可逆定溫從溫度為T2冷庫吸熱,被可逆絕熱壓縮后,可逆定溫向溫度為T1環境介質放熱,最後可逆絕熱膨脹,進入冷庫,完成循環。其製冷係數
對於卡諾熱泵循環,工質可逆定溫從低溫熱源T2,如環境介質吸熱,被可逆絕熱壓縮后,可逆定溫向高溫熱源T1,如建築物室內放熱,最後可逆絕熱膨脹,完成循環。其供暖係數或熱泵工作性能係數
應當指出,逆卡諾循環雖然實際上不能實現,但卻為提高制冷機和熱泵的完善程度指明了方向,仍具有重要的理論意義。
圖 4-2 卡諾定理證明用圖
引理
在外接圓半徑為R,內接圓半徑為r的三角形ABC中,r和R有如下關係:
r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}

證明

假設ABC為外心為D的銳角三角形,外心到AB、BC、AC的距離分別為DG、DH、DF,則在三角形HDB中,由外心性質可得
DB=R
角HDB=角A
由此,DH的表達式為
DH=RcosA
同理DG=RcosC、DF=RcosB。
因此,
\begin{matrix} \\ DG+DH+DF \\ =R\left ( {\cos}A+{\cos}B+{\cos}C \right ) \\ =R\left ( {2\cos}\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2} \right ) \\ =R\left ( {2\cos}\frac{\pi}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin\frac{\pi-\left ( {A+B} \right )}{2}\sin\frac{C}{2} \right ) \\ =R\left ( {2\sin}\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{C}{2} \right ) \\ =R\left ( {2\sin}\frac{C}{2}\left ( {\cos}\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2} \right )+1 \right ) \\ =R\left ( {4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+1} \right ) \\ =4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+R\end{matrix}
根據引理,得證
DG+DH+DF=R+r
當ABC為鈍角三角形,且角B大於90°時,則有
DH=RcosA
DF=Rcos(π-B)=-RcosB
DG=RcosC
所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r,結論相同,卡諾定理得證。
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