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去心鄰域即在a的鄰域中去掉a的數的集合。它在高等數學中有重要的作用。

1概述

在高等數學中,我們經常會用到一種特殊的開區間(a -δ,a + δ),稱這個開區間為點a的鄰域,記為U(a,δ),即
U(a,δ) = (a - δ,a + δ),
稱點a為鄰域的中心,δ為鄰域的半徑 。
通常 δ是較小的實數,所以,a的δ鄰域表示的是a的鄰近的點 ,如下圖所示。
點a的鄰域

  點a的鄰域

有時候,我們只考慮點a鄰近的點,不考慮點a,即考慮點集{x | a-δ<x<a或a<x<a+δ},我們稱這個點集為點a的去心的鄰域,記為U°(a,δ),即
U°(a,δ) = {x | a - δ < x < a或a < x < a + δ},
如下圖所示。
點a的去心的鄰域

  點a的去心的鄰域

以a為中心的任何開區間稱為點a的鄰域,記作U(a)。
設δ是任一正數,則開區間(a - δ, a+δ)就是點a的一個鄰域,這個鄰域稱為點aδ鄰域。
記作U(a,δ),即U(a,δ)={x|a-δ < x < a+ δ}。

2拓撲學解釋

設A是拓撲空間(X,τ)的一個子集,點x∈A。如果存在集合U,滿足①U是開集,即U∈τ,②點x∈U,③U是A的子集,則稱點x是A的一個內點,並稱A是點x的一個鄰域。若A是開(閉)集,則稱為開(閉)鄰域。

3鄰域定理

若非空集合X的子集A是A內所有元素的鄰域,則A為開集
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