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反函數,就是將原函數中自變數與變數調換位置,用原函數的變數表示自變數而形成的函數。一般地,如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應,y=f(x),則y=f(x)的反函數為y= f 『(x)。存在反函數的條件是原函數必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。

1 反函數 -簡介

所謂反函數(inverse function)就是將原函數中自變數與變數調換位置,用原函數的變數表示自變數而形成的函數。一般地,設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據這個函數中x,y 的關係,用y把x表示出,得到x= g(y). 若對於y在C中的任何一個值,通過x= g(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那麼,x= g(y)就表示y是自變數,x是因變數y的函數,這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數,記作y=f^-1(x). 反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。

2 反函數 -性質

反函數一般具有以下幾種性質:
1、互為反函數的兩個函數的圖象關於直線y=x對稱; 
2、函數存在反函數的充要條件是,函數在它的定義域上是單調的; 
3、一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致; 
4、偶函數一定不存在反函數,奇函數不一定存在反函數。若一個奇函數存在反函數,則它的反函數也是奇函數。 
5、一切隱函數具有反函數; 
6、一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性;
7、嚴格增(減)的函數一定有嚴格增(減)的反函數【反函數存在定理】。
8、反函數是相互的
9、定義域、值域相反對應法則互逆
10、不是所有函數都有反函數如y=x的偶次方
11、反函數的導數關係:如果X=F(Y)在區間I上單調,可導,且F『(Y)不等於0,那麼他的反函數Y=F』(X)在區間S={X|X=F(Y),Y屬於I }內也可導,且[F『(X)]'=1\[F』(Y)]'。

例:y=2x-1的反函數是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函數是y=log2 x

例題:求函數3x-2的反函數
解:y=3x-2的定義域為R,值域為R.
由y=3x-2解得 
x=1/3(y+2) 
將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數是
y=1/3(x+2)

3 反函數 -相關說明

函數y=f(x)(x∈A)中,設它的值域為C,根據這個函數中x,y的關係,用y把x表示出來,得到x=φ(y).如果對於y在C中的任何一個值,通過x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那麼,x=φ(y)就表示y是自變數,x是自變數y的函數,這樣的函數x=φ(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數.

4 反函數 -反函數與函數的關係

(1)反函數與函數是相對的。如果函數有反函數,那麼函數 的反函數就是,即與互為反函數。

(2)與的定義域,值域正好對調。

說明:反函數的定義域是由原函數的值域確定,而不是由它的表達式確定。 

5 反函數 -反函數存在的條件

 按照函數定義,y=f(x)定義域中的每一個元素x,都唯一地對應著值域中的元素y,如果值域中的每一個元素y也有定義域中的唯一的一個元素x和它相對應,即定義域中的元素x和值域中的元素y,通過對應法則y=f(x)存在著一一對應關係,那麼函數y=f(x)存在反函數,否則不存在反函數.例如:函數y=x2,x∈R,定義域中的元素±1,都對應著值域中的同一個元素1,所以,沒有反函數.而y=x2, x≥1表示定義域到值域的一一對應,因而存在反函數. 

6 反函數 -函數與反函數圖象間的關係

函數y=f(x)和它的反函數y=f-1(x)的圖象關於y=x對稱.若點(a,b)在y=f(x)的圖象上,那麼點(b,a)在它的反函數y=f-1(x)的圖象上. 

7 反函數 -幾個簡單命題

(1)一個奇函數y=f(x)如果存在反函數,那麼它的反函數y=f-1(x)一定是奇函數. 
(2)一個函數在某一區間是增(減)函數,並且存在反函數,那麼它的反函數在相應區間也是增(減)函數. 

8 反函數 -求反函數的步驟

求函數y=f(x)的反函數的一般步驟是: 

  ①確定函數y=f(x)的定義域和值域; 

  ②視y=f(x)為關於x的方程,解方程得x=f-1(y); 

  ③互換x,y得反函數的解析式y=f-1(x); 

 ④寫出反函數的定義域(原函數的值域).

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