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1定義

反證法Proofs by Contradiction,又稱歸謬法背理法),是一種論證方式,他首先假設某命題不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),然後推理出明顯矛盾的結果,從而下結論說原假設不成立,原命題得證。
反證法常稱作Reductio ad absurdum,是拉丁語中的「轉化為不可能」,源自希臘語中的「ἡ εις το αδυνατον παγωγη」,阿基米德經常使用它。

2解釋

反證法是「間接證明法」一類,是從反方向證明的證明方法,即:肯定題設而否定結論,從而得出矛盾。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括:「若肯定定理的假設而否定其結論,就會導致矛盾」。具體地講,反證法就是從反論題入手,把命題結論的否定當作條件,使之得到與條件相矛盾,肯定了命題的結論,從而使命題獲得了證明。
在應用反證法證題時,一定要用到「反設」,否則就不是反證法。用反證法證題時,如果欲證明的命題的方面情況只有一種,那麼只要將這種情況駁倒了就可以,這種反證法又叫「歸謬法」;如果結論的方面情況有多種,那麼必須將所有的反面情況一一駁倒,才能推斷原結論成立,這種證法又叫「窮舉法」。

3使用

反證法在數學中經常運用。當論題從正面不容易或不能得到證明時,就需要運用反證法,此即所謂"正難則反"。
牛頓曾經說過:「反證法是數學家最精當的武器之一」。一般來講,反證法常用來證明正面證明有困難,情況多或複雜,而逆否命題則比較淺顯的題目,問題可能解決得十分乾脆。
反證法的證題可以簡要的概括為「否定→得出矛盾→否定」。即從否定結論開始,得出矛盾,達到新的否定,可以認為反證法的基本思想就是辯證的「否定之否定」。應用反證法的是:
欲證「若P則Q」為真命題,從相反結論出發,得出矛盾,從而原命題為真命題。

4反證法的證明

反證法的證明主要用到「一個命題與其逆否命題同真假」的結論,為什麼?這個結論可以用窮舉法證明:
某命題:若A則B,則此命題有4種情況:
1.當A為真,B為真,則A→B為真,﹁B→﹁A為真;
2.當A為真,B為假,則A→B為假,﹁B→﹁A為假;
3.當A為假,B為真,則A→B為真,﹁B→﹁A為真;
4.當A為假,B為假,則A→B為真,﹁B→﹁A為真;
∴一個命題與其逆否命題同真假
即關於〉=〈的問題:
  大於  -〉反義:小於或等於
  都大於-〉反義:至少有一個不大於
  小於  -〉反義:大於或等於
  都小於-〉反義:至少有一個不小於
即反證法是正確的。
與若A則B先等價的是它的逆否命題若﹁B則﹁A
假設﹁B,推出﹁A,就說明逆否命題是真的,那麼原命題也是真的.
但實際推證的過程中,推出﹁A是相當困難的,所以就轉化為了推出與﹁A相同效果的內容即可,這個相同效果就是與A(已知條件)矛盾,或是與已知定義,定理,大家都知道的事實等矛盾.
步驟:
(1)假設命題結論不成立,即假設結論的反面成立。
(2)從這個命題出發,經過推理證明得出矛盾。
(3)由矛盾判斷假設不成立,從而肯定命題的結論正確。
反證法在簡易邏輯中適用題型:
(1)唯一性命題
(2)否定性題
(3)「至多」,「至少」型命題

5範例

兩個反證法的範例
證明:素數有無窮多個。
這個古老的命題最初是由古希臘數學家歐幾里德(Euclid of Alexandria,生活在亞歷山大城,約前330~約前275,是古希臘最享有盛名的數學家)在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法:
假設命題不真,則只有有限多個素數,設所有的素數是2=a1<a2<……<an.
此時,令N=a1*a2*……*an+1,那麼所有的ai(i=1,2,……,n)顯然都不是N的因子,那麼有兩個可能:或者N有另外的素數真因子,或者N本身就是一個素數,但是顯然有N>ai(i=1,2……n).無論是哪種情況,都將和假設矛盾。這個矛盾就完成了我們的證明,所以確實有無窮多個素數!
證明:根號二是無理數。
假設命題不真,則√2為有理數,設√2=n/m,即最簡分數的形式。
則n∧2/m∧2=2,2m∧2=n∧2
所以n∧2為偶數,則n為偶數,可表示為2x
則2m∧2=4x∧2
所以m∧2=2x∧2
則m也為偶數
所以m和n有公因數2,與n/m為最簡分數矛盾
所以√2為無理數!
這個證明簡短而又有力,充分體現了證明者的智慧,也體現出數學的概括性和美麗。

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