標籤:分析學

如果一個無限集中的元素可按某種規律排成一個序列,則稱其為可列集。 每個無限集必包含可列子集,但無限集並非一定是可列集。

1定義

如果一個集合與自然數集合之間存在一一對應,則這個集合稱為可列集(或可數集); 也就是說, 存在一個從該集合到自然數集合的雙射(也稱可逆映射)。

2種類

自然數集、有理數集、代數數集都是可列集。
實數集、複數集、直線點集、 平面點集都是不可列集(或不可數集)。
可列集是最小的無限集; 它的冪集是不可數集--和實數集存在一一對應(也稱同勢)。 所謂冪集, 就是原集合中所有的子集(包括全集和空集)構成的集族。

3重要性質

這些性質是在我們承認選擇公理得出的:
1、 有限個可列集的並是可列集。
2、 可列個可列集的並是可列集。
3、 任何可列集的的子集是可列集。
4、 任何無窮集都包含一個可列的真子集。
5 一個無窮集並上一個可列集還與其自身等勢 。
6、 可列集的冪集與實數集等勢。

4猜想和悖論

康托第一個認真研究了無限集合, 分清了可列集和不可數集的區別, 並用對角線法證明了實數集不是可列集。此外,康托指出了冪集的勢總是嚴格大於原集合。由此結論導致了康托猜想(即連續統假設)和康托悖論。
康托悖論
考慮所有的集合組成的最大的集族, 這個集族的冪集當然也是集合, 所以本身也是該集合的一部分, 從而它的勢應該不超過原集合的勢;但是另一方面, 冪集的勢有嚴格大於原集合的勢, 從而導致矛盾。
羅素首先意識到集合的概念存在問題。 他提出所謂的類型論, 指出有一類「集合」並不是真正的集合, 而是所謂的「類」,集合本身是不能包含自身的;「類」卻可以。 從這個角度出發,就可以解釋上述的悖論。
詳見百科詞條:基數、集合論、雙射、一一對應、可逆映射、選擇公理。

5等勢(等基數)的相關概念

定義:集合A與集合B等勢(等基數),當且僅當,A與B之間存在雙射(一一對應、可逆映射)。
在此意義下,刻畫了兩個無窮集合比較「多少」的一種辦法。但這裡的「多少」概念只是一種直觀的解釋,已經和有限集合比較多少的情況發生了變化。
在有限集合中,一個集合不可能與其真子集等勢。但在無限集合的比較,則不同。比如,自然數集和偶數集之間,可以通過雙射f(n)=2n 建立一一對應的關係。所以自然數集和偶數集是等勢的,雖然偶數集是自然數的真子集。集合論認為,這種與其某一真子集等勢的性質,恰好反映了無窮集合的本質,反映出了有限集和無窮集之間的一個重大區別。例如,正偶數集合和自然數集,ψ:n->2n,即可使得兩集合之間建立一一對應,因此他們是等勢的。」
質疑:對等的方法,只能在有限集比較中有效。擴展到無限集是不可信的。
例:「問:某班學生人數與教室的凳子數哪個多?最笨但也最顯然的方法是規定每個學生都去坐在凳子上,而且一個學生只能坐一張凳子。最後,如果有學生沒坐到凳子,那麼便是學生多。如果最後有凳子空著,那麼便是凳子多。」
如果是有限數量,可以用一對一的方法比較,無限數量,不行(這個反駁和等勢的提法並無矛盾,屬於望文生義,實際上這恰好說明在對等意義下,有限集與無限集的不同)。
假設來個副校長,要求每兩個學生坐一個凳子,然後他檢查了教室一,教室2,教室三......他看到的每個教室都是如此,後面的教室他認為不用檢查了(或根本不可能檢查完——無窮的概念),於是他宣布,本學校凳子數量,正好是學生數量的一半。
第二天,又來個副校長,要求每個學生坐一個凳子,然後他檢查了教室一,教室2,教室三......他看到的每個教室都是如此,後面的教室他認為不用檢查了(或根本不可能檢查完——無窮的概念),於是他宣布,本學校凳子數量,正好等於學生數量。
兩位自以為是的校長都有可能是對的,也可能是錯的,方法不對。
在有限集的比較過程中,關鍵不在建立了怎樣的對應關係,關鍵在於我們要比較到最後,至少一個集合結束了,而另一個集合中元素數量已經超過對比集合數量,而且還沒結束,我們才能證明一個集合建立的對應關係比另一個集合數量多。
自然數集中可以抽出偶數集,跟偶數集完全一一對應,而自然數集還有剩餘元素,因此我們可以得到結論:自然數集比偶數集多。
回應:數學的特點是自洽即可,我們可以定義有一一映射為等勢,這與自身並不矛盾。從這個定義出發,人們可以創造豐富的學問。至於如何通俗地理解等勢,等勢和通俗的數量相等有何關係,這不是數學所考慮的範圍。在這個問題中,兩個校長從自身關於有限集的經驗出發,試圖通俗地理解無限集的等勢概念,其所得到的結論都有道理。這只是通俗地理解數學概念的不同方式罷了,並不意味著等勢概念就是錯誤的,或者說自相矛盾的。順便說一下,從數學專業的角度來看,後來的那個校長的觀點更容易理解。

6康托爾對角線證明

現在來證明實數區間[0,1]中所有的實數組成的集合是不可列集。
其實只要證明(0,1]區間的實數集是不可列的。如果它是可列的,說明其中所有的實數均可排列成一數列t1,t2,...,tn,...,只有這樣,它才能對等於自然數集。好,這時我們將(0,1]中的實數用十進位的無限小數表示:
t1=0.t11t12t13...t1n...
t2=0.t21t22t23...t2n...
...
tm=0. tm1tm2tm3...tmn...
...
其中所有的tij都是0~9這十個數字中的某一個。
但是現在我們可以構造一個小數a=0.a1a2a3...ak...,任意的ai也都是0~9這十個數字中的某一個,但我們讓每個ai都不等於上述實數列中的tii,也就是讓第i位的數字跟數列中第i行第i個數字不同。這是可行的,因為我們用的是十進位小數,還剩下9個不同數字可供選擇呢。
當我們構造好了這樣的一個小數之後,我們發現它實際上跟上述小數列中的任何一個都不相等。這就造成了邏輯上的矛盾,你說已經把所有小數都列出來了,但是我卻發現至少我構造的這個小數,你還沒有羅列出來。就算你亡羊補牢,把我這個也補充進去,但是我還是可以根據同樣規則又構造出另一個。所以,只能說明實數是無法跟可列集形成一一對應的,也就是前面的假設是錯誤的。
因此[0,1]區間的實數不是可列集。同樣,取掉0,1兩個數之後的(0,1)區間的實數也不是可列集。

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