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1 同構關係 -同構

  在抽象代數(abstract algebra)中,同構(isomorphism)指的是一個保持結構的雙射(bijection)。在更一般的範疇論語言中,同構指的是一個態射,且存在另一個態射,使得兩者的複合是一個恆等態射。

表述

  同構是在數學對象之間定義的一類映射,它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射,那麼這兩個結構叫做是同構的。一般來說,如果忽略掉同構的對象的屬性或操作的具體定義,單從結構上講,同構的對象是完全等價的。

  假設M,M′是兩個乘集,也就是說M和M′是兩個各具有一個閉合的結合法(一般寫成乘法)的代數系,σ是M射到M′的雙射,並且任意兩個元的乘積的像是這兩個元的像的乘積,即對於M中任意兩個元a,b,滿足σ(a·b)=σ(a)·σ(b);也就是說,當a→σ(a),b→σ(b)時,a·b→σ(a·b),那麼這映射σ就叫做M到M′上的同構。又稱M與M′同構,記作M~M′。

引入同構的目的

  在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論應用於不同的領域。如果兩個結構是同構的,那麼其上的對象會有相似的屬性和操作,對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此,如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構於某個結構,且對於該結構已經證明了很多定理,那麼這些定理馬上就可以應用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構,那麼這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該對象結構變得容易,並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。

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