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既有方向又有大小的量叫做向量(物理學中叫做矢量),只有大小沒有方向的量叫做數量(物理學中叫做標量)。

向量向量

向量是一種既有大小又有方向的量。又稱為矢量。 向量在線性代數中是指n個實數組成的有序數組,稱為n維。一般用α,β,γ等希臘字母表示。有時也用a,b,c等拉丁字母表示:α=(a1,a2。。。an)稱為n維向量。其中ai稱為向量α的第i個分量。(「a1」的「1」為a的下標,「ai」的「i」為a的下標,其他類推)



1 向量 -簡介

向量向量圖片表示
在數學中,通常用點表示位置,用射線表示方向。在平面內,從任一點出發的所有射線,可以分別用來表示平面內的各個方向。向量的表示向量的表示向量常用一條有向線段來表示,有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。向量的大小,也就是向量的長度(或稱模),記作|a|長度為0的向量叫做零向量,記作0.長度等於1個單位長度的向量,叫做單位向量。

平行向量與相等向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b、c平行,記作a∥b∥c。0向量長度為零,是起點與終點重合的向量,其方向不確定,數學上規定0與任一向量平行。

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a與b相等,記作a=b。零向量與零向量相等。任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,並且與有向線段的起點無關。

向量空間的同構
在域F上的兩個向量空間V與V' ,如果存在一個雙射φ:V→V'並且φ(aμ bν)=aφ(μ) bφ(ν),a,b∈F,μ,ν∈V.這樣V與V' 便是同構。

向量線性映射
給兩個向量空間V和W在同一個F場,設定由V到W的線性變換或「線性映射」 . 這些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映像,以 L(V,W) 來描述,也是一個F場里的向量空間。當V及W被確定后,線性映射可以用矩陣來表達。同構是一對一的一張線性映射.如果在V 和W之間存在同構, 我們稱這兩個空間為同構;他們根本上是然後相同的。一個在F場的向量空間加上線性映像就可以構成一個範疇,即阿貝爾範疇。

概念化及額外結構
研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下:
一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念,稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的(加法及標量乘法是連續映射)稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性運算元(定義為向量乘法)是個域代數。

子空間及基
一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現密閉性,被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的擴張,記作span(B)。給出一個向量集合B,若它的擴張就是向量空間V, 則稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集,稱為這個空間的基。若V=0,唯一的基是空集。對非零向量空間 V,基是 V 最小的生成集。如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱V是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數,稱為該空間的維度。例如,實數向量空間:R0,R1,R2,R3。。。,R∞,。。。中,Rn 的維度就是n。空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列,向量便可以座標系統來呈現。

2 向量 -表示法

向量圖1,向量的幾何表示
向量的表示法:通常可以用
幾何的或代數坐標的方法來表示向量。
向量的幾何表示法:從空間中任意一點A出發引一半射線l,並在其上另取一點B,則有向線段AB就代表一向量(圖1),簡記為向量,或用α表示;這向量的大小就是線段AB的長,其方向就是半射線l的方向。向量α的大小稱為它的模或絕對值,記為向量

一般說來,如果向量向量的起點A換作另一點A┡,終點也換作另一點B┡,使ABAB┡,且它們的指向也相同,又長度向量則認為向量向量與向量向量是相等或相同的向量:向量,仍可記為α。這樣理解的向量有時也稱為自由向量(起點可自由改變)。當然根據實際情況,有時向量的起點不能隨便改變(例如,如果向量α代表一個力,其起點A代表力的作用點,這時起點就不能隨意改變),這種向量有時稱為固端向量。這裡一般只考慮自由向量。 一種特殊情況須加註意,就是B=A的情況,這時向量向量稱為零向量,記為0。零向量的模為0,而且無確定方向。 按照自由向量的觀點,規定兩向量α,b相等的充分必要條件是:|α|=|b|,且(如果它們不是零向量)α,b的方向(包括指向)相同。 如果向量α,b(都≠0)所在直線平行或重合,則稱αb平行,記作αb。向量-α指的是其模與α的模相等、且與α平行但指向相反的向量。如果向量α,b所在直線互相垂直,則稱αb互相垂直或正交,記作αb。 此外還規定,任何向量α都與零向量0既平行又垂直。 根據定義,任何向量α與它自身平行。 如果向量α的模等於1(|α|=1),則稱α為一單位向量。

向量圖2,向量的坐標表示
向量的代數表示法:向量的幾何表示法既直觀又簡單。但作為一種數學量,向量要參加運算,這種表示法有時就極不方便。下面向量的代數表示法就可克服這一困難。 在空間取定一右手坐標系(當然也可取左手坐標系,但為確定起見,不取左手系),如圖2。已給一向量α。把它的起點取在坐標原點O處,其終點為向量。把有向線段Op投影到三坐標軸x,y,z上,分別得投影Op1Op2Op3,它們的有向長x,y,z分別稱為αx軸、y軸、z軸上的三個分量,而把α表示為 :
向量(1)
這便是向量α的代數表示法。(x,y,z)實際上就是p點在Oxyz坐標系中的坐標。反過來,給定空間一點px,y,z),由(1)式就可定義一向量α,使其三個分量依次為x,y,z。 零向量0的三個分量都是0:0={0,0,0}。
由定義還可知,如果向量α以(1)式給出,則
向量
如果向量α的起點取在Q1{x1,y1,z1}點,而終點為Q2{x2,y2,z2},則其代數表示為向量(2)
當坐標系作平移時,向量的代數表示不變。當坐標系在討論過程中始終固定不變時,則也可把(1)式,即三個有順序的數x,y,z作為向量的定義。

向量坐標表示法:
平面向量的坐標表示:在直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 作為基底。由平面向量的基本定理知,該平面內的任一向量可表示成 ,由於與數對(x,y)是一一對應的,因此把(x,y)叫做向量的坐標,記作=(x,y),其中x叫作在x軸上的坐標,y叫做在y軸上的坐標。

3 向量 -來源

向量向量的表示
向量又稱為矢量,最初被應用於物理學。很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量.大約公元前350年前,古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量,兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。「向量」一詞來自力學、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國科學家牛頓。 調查表明,一般日常生活中使用的的向量是一種帶幾何性質的量,除零向量外,總可以畫出箭頭表示方向.但是在高等數學中還有更廣泛的向量。例如,把所有實係數多項式的全體看成一個多項式空間,這裡的多項式都可看成一個向量。在這種情況下,要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的。這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多,可以是任意數學對象或物理對象.這樣,就可以指導線性代數方法應用到廣闊的自然科學領域中去了。因此,向量空間的概念,已成了數學中最基本的概念和線性代數的中心內容,它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用。而向量及其線性運算也為「向量空間」這一抽象的概念提供出了一個具體的模型.

從數學發展史來看,歷史上很長一段時間,空間的向量結構並未被數學家們所認識,直到19世紀末20世紀初,人們才把空間的性質與向量運算聯繫起來,使向量成為具有一套優良運算通性的數學體系。 向量能夠進入數學並得到發展的階段是18世紀末期,挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示複數a+bi,並利用具有幾何意義的複數運算來定義向量的運算.把坐標平面上的點用向量表示出來,並把向量的幾何表示用於研究幾何問題與三角問題.人們逐步接受了複數,也學會了利用複數來表示和研究平面中的向量,向量就這樣平靜地進入了數學.

但複數的利用是受限制的,因為它僅能用於表示平面,若有不在同一平面上的力作用於同一物體,則需要尋找所謂三維「複數」以及相應的運算體系。19世紀中期,英國數學家漢密爾頓發明了四元數(包括數量部分和向量部分),以代表空間的向量。他的工作為向量代數和向量分析的建立奠定了基礎。隨後,電磁理論的發現者,英國的數學物理學家麥克思韋爾把四元數的數量部分和向量部分分開處理,從而創造了大量的向量分析。

三維向量分析的開創,以及同四元數的正式分裂,是英國的居伯斯和海維塞德於19世紀80年代各自獨立完成的。他們提出,一個向量不過是四元數的向量部分,但不獨立於任何四元數。他們引進了兩種類型的乘法,即數量積和向量積。並把向量代數推廣到變向量的向量微積分。從此,向量的方法被引進到分析和解析幾何中來,並逐步完善,成為了一套優良的數學工具。

4 向量 -代數運算

向量作為一種數學量可以進行某些代數運算,如加法、減法、乘法等。這些運算方法都有實際背景,因此在實際上是有意義的,被認為應用時是有效的。

向量圖3向量的數乘
向量的數乘 :
向量α與一(實)數с的乘法規定如下:定義сα為一向量,其模
向量
且與α平行;當с>0時,其指向與α的相同;當с<0時,它就與α的相反(圖3)。當然с=0時,0α=0。特別,易見
向量
如果用代數表示法,則若α={x,y,z},便有
向量
向量的數乘是符合結合律的,即若α為一向量,b,с為任二數,則
向量

向量圖4向量的加法
向量的加法:
已給二向量α,b,來定義αb。用幾何表示法,將向量取在同一起點O(圖4),然後以OAOB為鄰邊作一平行四邊形,得另一頂點C(圖4),則向量c=OC就定義為αb。所以向量的加法規則也稱作平行四邊形規則。又因向量所以αb也可這樣來理解:先作出向量然後以A為起點,作向量則三角形OAC的第三條邊OC就形成一向量向量因此,向量的加法規則有時也稱為三角形規則。
如果用代數表示法,設向量則有
向量
由向量加法定義,有以下規律:
向量

向量圖5向量的減法
向量的減法:與通常算術中一樣,把向量的減法作為加法的逆運算來定義。即已給二向量α,b,定義α-b=c為一向量,使得bc=α
在幾何上,如果向量,則向量(圖5)。在代數上,如向量向量
由此立刻知道,α-b是惟一的。而且容易看出,
向量
總之,對於向量的加減法和數乘來說,可以如同數字的算術運算那樣進行。
向量與向量的乘法情況相對來說稍為複雜一點。

向量的內積:
設有二向量αb。先假定它們都不是零向量。記它們之間(即它們所在直線之間)的夾角為θ,則定義向量
α,b的內積,或稱為點積,也簡記為αb。它不再是向量,而是一個數,所以也稱為數積。如果α,b中只要有一個是零向量,則定義α*b=0。
如果用代數方法,設向量
向量
由定義還可看出α*α,也記為α2=|α2=α2α仍表示α的模)。
向量的內積遵從以下一些運算規則: 
向量 
此外,還可看出,兩向量α,b互相垂直(正交)的充分必要條件為α*b=0(不論α,b是不是零向量)。

向量圖6向量的外積
向量的外積:
這是向量的另一種乘法。仍設αb為二向量。也暫先假定它們都不是零向量,且不平行。定義α×b=c為一向量,其模為: |c|=|α×b|=|α||b||sinθ|,(3)式中θ仍為α,b的夾角,其方向要求與α,b都垂直,而其指向如下法規定:使α,b,c的指向依次恰如Oxyz坐標系中x軸,y軸,z軸的正向那樣構成一右手系(圖6)。|α×b|在幾何上正好是以αb為兩鄰邊構成的平行四邊形的面積。如果αb,則因θ=0或π,故定義α×b=0;因此,如果αb中至少有一個是零向量,則也有α×b=0α×b稱為α,b的外積或叉積。因為它仍是個向量,所以也稱為向量積。
用代數表示法時,設向量
α×b={α2b3-α3b2,α3b1-α1b3,α1b2-α2b1}。
注意,向量外積不服從交換律,而服從反交換律:
向量
它也不服從結合律,即一般
向量
但若注意了次序不能改變,則這一乘法卻服從分配律:
向量
兩向量α,b平行的充分必要條件是α×b=0。值得注意,對於任意向量α,恆有α×α=0
向量的外積與內積間有下一重要公式:
向量

向量圖7向量的混合積
向量的混合積:
下面這一把向量的外積和內積結合在一起的乘積也是很有用的:(α×bc,稱為α,b,c的混合積,也記成(α,b,c)。它是一個數而不是向量。
如果向量則可以用行列式來表示混合積:
向量
由此可見向量在幾何上,如果把α,b,c的起點都放在同一點O,則(α×bc的模表示由這三向量為鄰邊構成的平行六面體的體積(圖7)。

向量圖8單位向量
向量的分解:
正如力、速度等可分解為分力、分速度等等,向量也可分解為分向量,即如果α=bc,則稱α被分解為兩分向量b,c。 常用的分解為:在取定坐標系后,分別記沿x軸、y軸、z軸正向的單位向量為ij,k(圖8)。即i={1,0,0},,j={0,1,0},={0,0,1},則任何向量α={x,y,z}可分解為
向量
注意到i,j,互相垂直,且
向量
則也可利用上述分解式來進行向量計算,完全可按通常代數運算來進行。例如向量

有時只考慮位於同一平面中的向量,這時向量還可用複數來表示(見複數)。 向量概念還可推廣到維數更高的空間或更為抽象的空間中去。 還可考慮向量(依賴於自變數時)的微分、積分等等分析運算(見向量分析)。

5 向量 -參考資料

[1] 搜狐教育 http://learning.sohu.com/20040916/n222077758.shtml
[2] 中國教師站 http://www.cn-teacher.com/Article/shuxue/g1/200702/126021.html
[3] 向量運算 http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Statics/newpage18.htm
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