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向量外積的方法是分配律的幾何證明方法很繁瑣,大意是用作圖的方法驗證。

 

1 向量外積 -定義

把向量外積定義為:
a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>.

2 向量外積 -方法

分配律的幾何證明方法很繁瑣,大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數方法。我們假定已經知道了:

1)外積的反對稱性:
a × b = - b × a.
這由外積的定義是顯然的。

2)內積(即數積、點積)的分配律:
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
這由內積的定義a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>,用投影的方法不難得到證明。

3)混合積的性質:
定義(a×b)·c為矢量a, b, c的混合積,容易證明:
i) (a×b)·c的絕對值正是以a, b, c為三條鄰棱的平行六面體的體積,其正負號由a, b, c的定向決定(右手係為正,左手係為負)。
從而就推出:
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我們可以記a, b, c的混合積為(a, b, c).
由i)還可以推出:
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我們還有下面的一條顯然的結論:
iv) 若一個矢量a同時垂直於三個不共面矢a1, a2, a3,則a必為零矢量。

下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。
設r為空間任意矢量,在r·(a×(b + c))里,交替兩次利用3)的ii)、iii)和數積分配律2),就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移項,再利用數積分配律,得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
這說明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直於任意一個矢量。按3)的iv),這個矢量必為零矢量,即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
證畢。

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