標籤:線性代數 向量和線性方程組

向量空間又稱線性空間。在解析幾何學里引入向量概念后,使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰,在此基礎上的進一步抽象化,形成了與域相聯繫的向量空間概念。向量空間是線性代數的中心內容和基本概念之一。它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

1用途

向量空間或稱線性空間,是現代數學中的一個基本概念,是線性代數研究的基本對象。
向量空間是線性代數的主體,它是數學中基本又重要的概念,其概念是:設V為n維向量的集合,如果集合V非空,且集合V對於加法及乘法兩種運算封閉,那麼就稱集合V為向量空間。其理論和方法已應用到自然科學、工程技術及社會科學的諸多領域。
向量空間相關圖書

  向量空間相關圖書

向量空間的一個直觀模型是向量幾何,幾何上的向量及相關的運算即向量加法,標量乘法,以及對運算的一些限制如封閉性,結合律,已大致地描述了「向量空間」這個數學概念的直觀形象。
在現代數學中,「向量」的概念不僅限於此,符合下列公理的任何數學對象都可被當作向量處理。譬如,實係數多項式的集合在定義適當的運算后構成向量空間,在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算后,也構成向量空間,研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

2公理化

給定域 F,一個向量空間是個集合 V 並規定兩個運算:
向量加法:V + V → V 記作 v + w, ∃ v, w ∈ V,
標量乘法:F × V → V 記作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):
相似度計算

  相似度計算

向量加法結合律:u + (v + w) = (u + v) + w.
向量加法交換律: v + w = w + v.
向量加法的單位元: V 里有一個叫做零向量的 0,∀ v ∈ V , v + 0 = v.
向量加法的逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 導致 v + w = 0.
標量乘法分配於向量加法上: a(v + w) = a v + a w.
標量乘法分配於域加法上: (a + b)v = a v + b v.
標量乘法一致於標量的域乘法: a(b v) = (ab)v。
標量乘法有單位元: 1 v = v, 這裡 1 指示域 F 的乘法單位元.
有些教科書還強調以下兩個閉包公理:
V 閉合在向量加法下:v + w ∈ V.
V 閉合在標量乘法下: a v ∈ V.
簡而言之,向量空間是一個F-模。
V的成員叫作向量而F的成員叫作標量
若F是實數域R,V稱為實數向量空間.
若F是複數域C,V稱為複數向量空間.
若F是有限域,V稱為有限域向量空間
對一般域F,V稱為F-向量空間

3基礎特性

首5個公理是說明向量V在向量加法中是個可換群.餘下的5個公理應用於標量乘法.
這些都是一些特性很容易從向量空間公理推展出來的.如下:
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零向量0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
0 v = 0 ∀ v ∈ V 這裡 0 是F的加法單位元.
a v = 0 ,則可以推出要麼 a = 0 ,要麼 v = 0.
可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的. (寫成−v). 這個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的.
(−1)v = −v ∀ v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.
例子
參見 向量空間例子

4子空間

一個向量空間 V 的一個非空子集合 W 在加法及標量乘法中表現密閉性,被稱為 V 的線性子空間。
給出一個向量集合 B,那麼包含它的最小子空間就稱為它的擴張,記作 span(B)。
給出一個向量集合 B,若它的擴張就是向量空間 V, 則稱 B 為 V 的生成集。
一個向量空間 V 最大的線性獨立子集,稱為這個空間的基。若 V=0,唯一的基是空集。對非零向量空間 V,基是 V 最小的生成集。
如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集,那麼就稱 V 是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數,稱為該空間的維度。例如,實數向量空間:R0, R1, R2, R3, …, R∞, …中, Rn 的維度就是 n。
空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列,向量便可以坐標系統來呈現。
線性映射
給兩個向量空間 V 和 W 在同一個F場, 設定由V到W的線性變換或「線性映射」 . 這些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及標量商數.這個集合包含所有由V到W的線性映射,以 L(V, W) 來描述, 也是一個F場里的向量空間. 當 V 及 W 被確定后, 線性映射可以用矩陣來表達.
同構是一對一的一張線性映射.如果在V 和W之間存在同構, 我們稱這兩個空間為同構;他們根本上是然後相同的。
一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一個範疇,即阿貝爾範疇。

5同構

F上兩個向量空間VV┡,如果存在VV┡的一個雙射φ:VV┡,且滿足條件φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v),其中αbF中元素,uvV中元素,那麼向量空間VV┡稱為同構的。域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。

6額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下:
一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念,稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的(加法及標量乘法是連續映射)稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性運算元(定義為向量乘法)是個域代數。
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