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關於天體運動周期軌道的存在性和穩定性的理論。對於天體力學中不能直接求解的運動方程,除了用級數作為近似解外,龐加萊在十九世紀末開闢了一條新的途徑──尋找運動方程的周期解。

 

1 周期解理論 -正文

  這種解的特點是:經過一定的時間(周期)后,天體的坐標和速度都嚴格地回復到原來的數值。周期解理論是天體力學中最活躍的研究領域之一。對於維數不高的動力學體系(如平面圓型限制性三體問題)來說,周期解是決定相空間(坐標和速度分量組成的空間)的「樞紐」軌道;周期解的存在同共振有密切聯繫(見共振理論);某些簡單的周期解可以作為中間軌道,並以此為基礎討論攝動;人造天體出現以後,需要設計能夠周期性地接近地球和其他天體的軌道,這就給周期解的研究工作帶來新動力。目前研究周期解有三種基本方法。
  定性方法  應用拓撲學方法證明某些類型周期解的存在性。這種方法最初是龐加萊提出的,後由伯克霍夫、阿爾諾德等人加以發展和充實,成為天體力學定性理論中的一個重要內容。對於大周期的解的存在性問題,目前還只能用定性方法進行研究。此外,在給定周期解領域內的周期解存在性問題,各種周期解的穩定性問題,都是用定性方法來研究的。
  分析方法  最初也是龐加萊提出的。他首先研究含有小參數μ的運動方程。當μ=0時,方程有周期解。然後根據周期性條件找出μ≠0時的周期解。這樣的周期解可用μ的冪級數表示,並用逐次積分求出其係數。對於三體問題,他提出了三類周期解,這成為周期解的理論基礎。這些解稱為龐加萊周期解。拉格朗日特解也是一種特殊的周期解。近二十年來,對拉格朗日特解附近的周期解存在性和穩定性研究得較多(見脫羅央群小行星的運動)。希爾在研究月球運動時所採用的中間軌道,也是周期軌道,稱為希爾周期軌道。二十世紀以來,在研究希爾周期軌道的收斂範圍以及用新方法建立這種軌道方面,取得了很多成果。例如美國康利等人用正規化變換(見變換理論)求平動點附近的周期解。
  用分析方法討論周期解有兩個重要缺點:一是在周期上有限制,對周期很大的解還只能用定性方法研究;一是推導過程太繁,無法推導出一般項和高階項。近年來,分析方法常用數值方法來補充,並且藉助於電子計算機進行公式推導。
  數值方法  自五十年代電子計算機廣泛應用於天體力學研究之後,出現了用數值方法研究周期解的高潮,建立了大量各種類型的周期軌道。其中絕大部分是針對平面(圓型或橢圓型)限制性三體問題的,只有很少是針對空間限制性問題或一般三體問題的。一般方法是尋找某一周期解族的具體周期軌道。具體辦法是先選取周期解的近似初值,然後用泰勒級數的斯特芬森方法計算出最後的周期軌道。這樣所得的精度比差分法要高。算得最多的仍然是平動點附近的周期解。六十年代以後,出現了很多用數值方法研究周期軌道穩定性的研究成果,主要是算出標誌周期軌道的某些參數的具體值,從而判定周期解的穩定性和穩定範圍。
  同分析方法一樣,數值方法的缺點也是在周期上有限制,一般只能研究周期較短的解。另外,利用數值方法進行研究只能得到某些具體周期軌道,很難看出它們的一般特徵(見天體力學數值方法)。因此,周期解理論還需要用幾種方法配合來研究,才有可能得到有效的結果。但是至今還沒有形成較完整的具體研究方法。

 

2 周期解理論 -配圖

 

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