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指高中數學三角函數部分的一組恆等式\nsin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

1 和差化積 -正弦、餘弦的和差化積

公式

  指高中數學三角函數部分的一組恆等式
  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意左式前的負號】 
  以上四組公式可以由積化和差公式推導得到證明過程

  法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程
  因為
  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
  將以上兩式的左右兩邊分別相加,得
  sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
  設α+β=θα-β=φ
  那麼
  α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
  把α,β的值代入,即得
  sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
  法2
  根據歐拉公式,e ^(ix)=cosx+isinx
  令x=a+b
  得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
  所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
  sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

2 和差化積 -正切的和差化積

  tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附證明)
  cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)
  tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
  tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
  證明:左邊=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
  =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
  =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右邊
  ∴等式成立

3 和差化積 -注意事項

  在應用和差化積時,必須是一次同名三角函數方可實行。若是異名,必須用誘導公式化為同名;若是高次函數,必須用降冪公式降為一次
  口訣
  正加正,正在前,余加余,余並肩
  正減正,余在前,余減余,負正弦
  反之亦然
  生動的口訣:(和差化積)
  帥+帥=帥哥
  帥-帥=哥帥
  哥+哥=哥哥
  哥-哥=負嫂嫂
  反之亦然
  語文老師教的口訣:
  口口之和仍口口 cos α+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  賽賽之和賽口留 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  口口之差負賽賽 cos α-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  賽賽之差口賽收 sin α-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  另一口訣:
  正和正在先,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  正差正後遷,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
  余和一色余,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
  余差翻了天,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

4 和差化積 -記憶方法

  和差化積公式的形式比較複雜,記憶中以下幾個方面是難點,下面指出了各自的簡單記憶方法。如何只記兩個公式甚至一個

  我們可以只記上面四個公式的第一個和第三個。
  而第二個公式中的-sinβ=sin(β+π),也就是sinα-sinβ=sinα+sin(β+π),這就可以用第一個公式解決。
  同理第四個公式中,cosα-cosβ=cosα+cos(β+π),這就可以用第三個公式解決。
  如果對誘導公式足夠熟悉,可以在運算時把cos全部轉化為sin,那樣就只記住第一個公式就行了。
  用的時候想得起一兩個就行了。結果乘以2

  這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其積的值域也應該是[-1,1],而和差的值域卻是[-2,2],因此乘以2是必須的。
  也可以通過其證明來記憶,因為展開兩角和差公式后,未抵消的兩項相同而造成有係數2,如:
  cos(α-β)-cos(α+β)
  =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
  =2sinαsinβ
  故最後需要乘以2。只有同名三角函數能和差化積

  無論是正弦函數還是餘弦函數,都只有同名三角函數的和差能夠化為乘積。這一點主要是根據證明記憶,因為如果不是同名三角函數,兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同,就不會出現相抵消和相同的項,也就無法化簡下去了。乘積項中的角要除以2

  在和差化積公式的證明中,必須先把α和β表示成兩角和差的形式,才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等於α和β,這兩個角應該是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘積項中角的形式。
  注意和差化積和積化和差的公式中都有一個「除以2」,但位置不同;而只有和差化積公式中有「乘以2」。使用哪兩種三角函數的積

  這一點較好的記憶方法是拆分成兩點,一是是否同名乘積,二是「半差角」(α-β)/2的三角函數名。
  是否同名乘積,仍然要根據證明記憶。注意兩角和差公式中,餘弦的展開中含有兩對同名三角函數的乘積,正弦的展開則是兩對異名三角函數的乘積。所以,餘弦的和差化作同名三角函數的乘積;正弦的和差化作異名三角函數的乘積。
  (α-β)/2的三角函數名規律為:和化為積時,以cos(α-β)/2的形式出現;反之,以sin(α-β)/2的形式出現。
  由函數的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積,那麼α和β調換位置對結果沒有影響,也就是若把(α-β)/2替換為(β-α)/2,結果應當是一樣的,從而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一種情況可以類似說明。餘弦-餘弦差公式中的順序相反/負號

  這是一個特殊情況,完全可以死記下來。
  當然,也有其他方法可以幫助這種情況的判定,如(0,π]內餘弦函數的單調性。因為這個區間內餘弦函數是單調減的,所以當α大於β時,cosα小於cosβ。但是這時對應的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的範圍內,其正弦的乘積應大於0,所以要麼反過來把cosβ放到cosα前面,要麼就在式子的最前面加上負號。
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