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哈密頓運算元

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哈密頓運算元, 數學符號為▽,讀作 Hamiltonian.
\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} +\frac{\partial}{\partial z}\vec{k}
運算規則:
一、
\nabla A=\frac{\partial A}{\partial x} \vec{i} +\frac{\partial A}{\partial y} \vec{j} +\frac{\partial A}{\partial z} \vec{k}
這樣標量場A通過▽的這個運算就形成了一個矢量場,該矢量場反應了標量場A的分佈。
二、
\nabla \bullet A=\nabla \bullet \left \{ \begin{matrix} A_x ,& A_y ,& A_z \end{matrix} \right \}
=\left ( {\frac{\partial }{\partial x} \vec{i} +\frac{\partial }{\partial y} \vec{j} +\frac{\partial }{\partial z} \vec{k} } \right )\bullet \left ( { A_x \vec{i} +A_y \vec{j} +A_z \vec{k} } \right )
 =\frac{\partial A_x}{\partial x} +\frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z}{\partial z}
三、
\nabla\times A=\nabla \times \left \{ \begin{matrix} A_x ,& A_y ,& A_z \end{matrix} \right \}=\left|\begin{matrix} \vec{i}& \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right|
=\left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \vec{i} +\left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \vec{j} +\left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \vec{k}
由此可見:數量(標量)場的梯度與矢量場的散度和旋度可表示為:
grad (A)= \nabla A ,div (\vec{A}) = \nabla \bullet \vec{A} ,rot (\vec{A}) =\nabla \times \vec{A}
[1-2]
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