單位根性質

單位根性質
單位根(unit root)
設n 是正整數,當一個數的n 次乘方等於1 時,稱此數為n 次「單位根」。在複數範圍內,n 次單位根有n 個。例如,1、-1、i、-i 都是4次單位根。確切的說,單位根指模為1的根,一般的x^n=1的n個根可以表示為: x=cos(2kπ/n)+sin(2kπ/n)i ,其中:k=0,1,2,..,n-1 ,i是虛數的單位。
本原根
單位的n次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的n次本原根。單位的n次本原根是e2πik / n,其中k和n互質。單位的n次本原根數目為歐拉函數φ(n)
單位的一次根有一個:1。
單位的二次根有兩個:+1和-1,只有-1是本原根。
單位的三次根是
{1,(-1+根號3i)/2,(-1-根號3i)/2}
其中i複數單位;除1外都是本原根。
單位的四次根是
{1,+i,-1,-i}
其中 + i和 - i是本原根。

1一些性質

單位根性質

單位根性質
由於度量不認識上標,所以煩請喜歡研究者直接看圖
性質二
兩個n次單位根εj與εk 的乘積還是一個n次單位根,且εjεk =εj+k 推論1:εj =ε-j
推論2:
εk=εmk
推論3:
若k除以n的餘數為r,則εk=εr
註:它說明εk等價於r=0
推論4:
任何一個單位根都可以寫成ε1的冪,即εk=ε1
說明:除了ε1,還有沒有另一個單位根εk使任何一個單位根都是εk的冪,回答是肯定的,並稱這樣的根為n次本原根,n次原根。從而所有n次單位根還可以寫作
ε1,ε1,…,ε1(ε0=1)
推論5:
一個n次單位根的共軛也是一個n次單位根,即εk=εn-k(『表示共軛)
因為εkεk=|εk|,εk=1/εk=ε-k=εn-k (由推論3)
註:由上證明看到1/εk=εk,說明所有虛的n次單位根都成對共軛
推論6:
對任意整數k,h,有εk=εh
性質四
全部單位根將複平面上單位圓n等分

2性質的應用

見圖冊(黑圖)
其中用到了一個關於n次單位根的性質(白圖性質3)
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