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1定義特性

單射
設f是由集合A到集合B的映射,如果x,y∈A,且x≠y等價於f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的單射。
在數學里,單射函數為一函數,其將不同的引數連接至不同的值上。更精確地說,函數f被稱為是單射時,對每一值域內的y,存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。
另一種說法為,f為單射,當f(a) = f(b),則a = b(若a≠b,則f(a)≠f(b)),其中a、b屬於定義域。
單射在某些書中也叫入射,可理解成「不同則不同」。

2例子反例

對任一集合X,X上的恆等函數為單射的。
函數f : R → R,其定義為f(x) = 2x + 1,是單射的。
函數g : R → R,其定義為g(x) = x^2,不是單射的,因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非負數[0,+∞)內或非正數(-∞,0]內,則g是單射的。
指數函數exp:R → R+:x → ex(e的x次方)是單射的。
自然對數函數ln:(0,+∞) → R:x → ln x是單射的。
函數g : R → R,其定義為g(x) = x^3 − x,不是單射的,因為 g(0) = g(1)。
更一般地說,當X和Y都是實數線 R',則單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

3可逆函數

另一單射函數的定義為其作用可取消的函數。更精確地說,f : X → Y為單射,若存在一函數g : Y → X,使得對所有X內的x,g(f(x)) = x,亦即g o f 等同於X上的恆等函數。
注意,g不一定是一f的完全反函數,因為其他順序的複合f o g不一定是在X上的恆等函數。
事實上,將一單射函數f : X → Y變成一雙射函數,只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即,令g : X → J,使其對所以X內的x,g(x) = f(x);如此g便為單射的了。確實,f可以分解成inclJ,Yog,其中inclJ,Y來由J至Y的內含映射。

4其他性質

若f和g皆為單射的,則f o g亦為單射的。
若g o f為單射的,則f為單射的(但g不必然要是)。
f : X → Y是單射的若且唯若當給定兩函數g、h : W → X會使得f o g = f o h時,則g = h。
若f : X → Y為單射的且A為X的子集,則f −1(f(A)) = A。所以,A可以從其值域f(A)找回。
若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集,則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
任一函數 h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構, f 可以設想為從 h(W) 到 Y 的內含映射。
若 f : X → Y 是單射,則在基數的意義下 Y 的元素數量不少於 X。
若 X 與 Y 皆為有限集,則 f : X → Y 是單射若且唯若它是滿射。
內含映射總是單射。
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