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單調性是函數中的一個概念,它是指函數的增減性。函數的單調性是對某個區間而言的,它是一個局部概念。

1 單調性 -名稱介紹

函數的單調性也叫函數的增減性.函數的單調性是對某個區間而言的,它是一個局部概念.

單調性函數圖

 

2 單調性 -基本方法

先要弄清概念和研究目的,因為函數本身是動態的,所以判斷函數的單調性、奇偶性,還有研究函數切線的斜率、極值等等,都是為了更好地了解函數本身所採用的方法。其次就解題技巧而言,當然是立足於掌握課本上的例題,然後再找些典型例題做做就可以了,這部分知識僅就應付解題而言應該不是很難。最後找些考試試卷題目來解,針對考試會出的題型強化一下.   
1. 把握好函數單調性的定義。證明函數單調性一般(初學最好用定義)用定義(謹防循環論證),如果函數解析式異常複雜或者具有某種特殊形式,可以採用函數單調性定義的等價形式證明。另外還請注意函數單調性的定義是[充要命題]。   
2. 熟練掌握基本初等函數的單調性及其單調區間。理解並掌握判斷複合函數單調性的方法:同增異減。   
3. 高三選修課本有導數及其應用,用導數求函數的單調區間一般是非常簡便的。 還應注意函數單調性的應用,例如求極值、比較大小,還有和不等式有關的問題。   

一般的,求函數單調性有如下幾個步驟:   
1、取值X1,X2屬於{?},並使X1<X2<  
2、作差f(x1)-f(x2)   
3、變形   
4、定號(判斷f(x1)-f(x2)的正負)   
5、下結論

判斷複合函數的單調性

1.導數   
2.構造基本初等函數(已知單調性的函數)   
3.複合函數   根據同增異減口訣,先判斷內層函數的單調性,再判斷外層函數單調性,在同一定義域上,若兩函數單調性相同,則此複合函數在此定義域上為增函數,反之則為減函數。   
4.定義法   
5.數形結合   
複合函數的單調性一般是看函數包含的兩個函數的單調性   (1)如果兩個都是增的,那麼函數就是增函數   (2)一個是減一個是增,那就是減函數   (3)兩個都是減,那就是增函數
複合函數求導公式
F'(g(x)) = [ F(g(x+dx)) - F(g(x)) ] / dx ......   (1) g(x+dx) - g(x) = g'(x)*dx = dg(x) ........   (2) g(x+dx) = g(x) + dg(x) .........   (3) F'(g(x)) = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] /dx = [ F(g(x) + dg(x)) - F(g(x)) ] / dg(x) * dg(x)/dx = F'(g) * g'(x)  

3 單調性 -特徵

一般地,設函數f(x)的定義域為I:   如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2,當x1<x2時都有f(x1)<f(x2)。那麼就說f(x)在 這個區間上是增函數。  相反地,如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2,當x1<x2時都有f(x1)>f(x2).那麼就是f(x)在這個區間上是減函數。

4 單調性 -基本性質

⒈ 增函數與減函數
  一般地,設函數f(x)的定義域為I:
  如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2,當x1、x2時都有f(x1)< f(x2).那麼就說f(x)在 這個區間上是增函數。
  如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2,當x1<x2時都有f(x1)>f(x2).那麼就是f(x)在這個區間上是減函數。

⒉ 單調性與單調區間
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,則就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性,這一區間叫做函數的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.
在單調區間上,增函數的圖像是上升的,減函數的圖像是下降的。

5 單調性 -規律

若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,則就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性,這一區間叫做函數的單調區間。此時也說函數是這一區間上的單調函數。   在單調區間上,增函數的圖像是上升的,減函數的圖像是下降的。   

註:在單調性中有如下性質。

圖例:↑(增函數)↓(減函數)   

↑+↑=↑ 兩個增函數之和仍為增函數   

↑-↓=↑ 增函數減去減函數為增函數   

↓+↓=↓ 兩個減函數之和仍為減函數   

↓-↑=↓ 減函數減去增函數為減函數

6 單調性 -例題解析

判斷函數的單調性y = 1/( x^2-2x-3)。   
設x^2-2x-3=t,   令x^2-2x-3=0,   
解得:x=3或x=-1,   
當x>3和x<-1時,t>0,   
當-1<x<3時,t<0。   
所以得到x^2-2x-1對稱軸是1。   
根據反比例函數性質:   
在整個定義域上是1/t是減函數。   
當t>0時,x>3時,   
t是增函數,1/t是減函數,   
所以(3,+∞)是減區間,   
而x<-1時,t是減函數,   
所以1/t是增函數。   
因此(-∞,-1)是增區間,   
當x<0時,   -1<x<1,t是減函數,   
所以1/t是增函數,   因此(-1,1)是增區間,   
而1<x<3時,t是增函數,1/t是減函數,   
因此(1,3)是減區間,   
得到增區間是(-∞,-1)和(-1,1),   (1,3)和(3,+∞)是減區間。
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