1一元四次方程的解法

四次方程屬於高次方程範疇,其基本解法思想是:通過適當的配方,使四次方程變為兩個一元二次方程.
一般情況
一般的一元四次方程可化為
x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
(1)
移項可得
x^4+bx^3=-cx^2-dx-e
(2)
兩邊同時加上
\left(\frac{1}{2}bx\right)^2
,可將 (2) 式配成
\left(x^2+\frac{1}{2}bx\right)^2=\left(\frac{1}{4}b^2-c\right)x^2-dx-e
(3)
在 (3) 式兩邊同時加上
\left(x^2+\frac12bx\right)y+\frac14y^2
,可得
\left(x^2+\frac12bx+\frac12y\right)^2=\left(\frac14b^2-c+y\right)x^2+\left(\frac12by-d\right)x+\frac14y^2-e
(4)
(4) 式中的 y 是一個參數。當 (4) 式中的 x為原方程的根時,不論y取什麼值都成立。特別,如果所取的y值使(4)式右邊關於x 的二次三項式也能變成一個完全平方式,則對 (4) 兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。 為了使 (4) 式右邊關於 x 的二次三項式也能變成一個完全平方式,只需使它的判別式變成 0,即
\left(\frac12by-d\right)^2-4\left(\frac14b^2-c+y\right)\left(\frac14y^2-e\right)=0
(5)
這是關於y的一元三次方程,可以通過塔塔利亞公式來求出y 應取的實數值。 把由 (5) 式求出的 y 值代入 (4) 式后,(4) 式的兩邊都成為完全平方,兩邊開方,可以得到兩個關於 x的一元二次方程。解這兩個一元二次方程,就可以得出原方程的四個根。
費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於:
第一次配方得到 (3) 式后引進參數 y,並再次配方把 (3) 式的左邊配成含有參數 y 的完全平方,即得到 (4) 式,再利用 (5) 式使 (4) 的右邊也成為完全平方,從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題.
因此,我們可得四次方程求根公式(見擴展閱讀)
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