標籤:多邊形四邊形

由不在同一直線上四條線段依次首尾相接圍成的封閉的平面圖形或立體圖形叫四邊形,由凸四邊形和凹四邊形組成。

1簡介

凹四邊形
四個頂點在同一平面內,對邊不相交且作出一邊所在直線,其餘各邊有些在其異側。不做重點研究。
依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變,中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。中點四邊形的形狀取決於原四邊形的對角線。若原四邊形的對角線垂直,則中點四邊形為矩形;若原四邊形的對角線相等,則中點四邊形為菱形;若原四邊形的對角線既垂直又相等,則中點四邊形為正方形。
定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形(parallelogram)。
平行四邊形

  平行四邊形

判定
(1)如果一個四邊形的兩組對邊分別相等,那麼這個四邊形是平行四邊形。
(簡述為「兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形」)
(2)如果一個四邊形的一組對邊平行且相等,那麼這個四邊形是平行四邊形。
(簡述為「一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形」)
(3)如果一個四邊形的兩條對角線互相平分,那麼這個四邊形是平行四邊形。
(簡述為「對角線互相平分的四邊形是平行四邊形」)
(4)如果一個四邊形的兩組對角分別相等,那麼這個四邊形是平行四邊形。
(簡述為「兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形」)
(5)如果一個四邊形的兩組對邊分別平行,那麼這個四邊形是平行四邊形。
(簡述為「兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形」)
周長
平行四邊形的周長=2×兩鄰邊的和,用「a」、「b」表示兩鄰邊,「C」表示平行四邊形的周長,
則C=2(a+b)

2矩形

性質
①矩形的四個角都是直角;
②矩形的對角線相等.
注意:矩形也具有平行四邊形的一切性質.
面積
設矩形的兩條鄰邊長分別為a,b,則面積為ab.
定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形(rhombus).
菱形

  菱形

判定
①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;
②四條邊都相等的四邊形是菱形;
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
④有一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形
⑤對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
周長
菱形周長=邊長×4 用「a」表示菱形的邊長,「C」表示菱形的周長,
則C=4a

3正方形

性質
①正方形的四個角都是直角,四條邊都相等;
②正方形的兩條對角線相等,並且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角。
面積
①正方形面積=邊長的平方S=a×a(S表示正方形的面積,a表示正方形的邊長)。
②對角線乘積的一半。
定義
梯形:一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形(trapezium)(一組對邊平行且不相等的四邊形叫做梯形)。
梯形

  梯形

等腰梯形:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)。
直角梯形:一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形。
判定
1、兩腰相等的梯形是等腰梯形。
2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。
3、對角線相等的梯形是等腰梯形。
周長
梯形的周長=上底+下底+腰+腰 用「a」、「b」、「c」、「d」分別表示梯形的上底、下底、兩腰,「C」表示梯形的周長
則c=a+b+c+d

4四邊形

性質
1、圓內接四邊形的對角互補。
2、圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角。
3、圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。(托勒密定理)
面積
圓內接四邊形面積S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。(a,b,c,d為四邊形的四邊長,其中P=(a+b+c+d)/2

5對角線

性質
四邊形面積等於兩條對角線的積的一半。
例:四邊形ABCD中,AC⊥BD ,則S□ABCD=1/2·AC·BD

特殊

對角線垂直的特殊四邊形有:菱形、正方形、特殊梯形。

6不穩定性

四邊形不具有三角形的穩定性,易於變形。但正是由於四邊形不穩定具有的活動性,使其在生活中有廣泛的應用,如拉伸門等拉伸、摺疊結構。
伸縮門運用了四邊形的不穩定性

  伸縮門運用了四邊形的不穩定性

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