標籤: 暫無標籤

由四個三條邊的面,六條棱組成的物體。四面體既是三稜錐。體積可由底面積乘以高除3得出。

1 四面體 -數學概念

2 四面體 -定義

  由四個三角形,六條棱組成的物體
  是三稜錐。

3 四面體 -體積

  過一頂點的三向量設為a,b,c,所求四面體的體積就是|(a×b)·c|/6。設 a={X1,Y1,Z1} b={X2,Y2,Z2} c={X3,Y3,Z3} 則所求的體積是|T|/6,其中T的值可以用下面的行列式計算出來: |X1 Y1 Z1| |X2 Y2 Z2| |X3 Y3 Z3| 如果四面體的四頂點坐標分別為(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),(x4,y4,z4),則上面的T值可以用下面的行列式計算出來: |x1 y1 z1 1| |x2 y2 z2 1| |x3 y3 z3 1| |x4 y4 z4 1|

4 四面體 -性質

  如果設四面體ABCD的頂點A在平面BCD上的射影為O,△ABC的面積為S1,△ADC的面積為S2,△BCD的面積為S3,△ABD的面積為S4,二面角A-BC-D為θ1-3,二面角A-DC-B為θ2-3,二面角A-BD-C為θ3-4,二面角C-AB-D為θ1-4,二面角C-AD-B為θ2-4,二面角B-AC-D為θ1-2,則
  S1 = S2cosθ1-2 + S3cosθ1-3 + S4cosθ1-4
  S2 = S1cosθ1-2 + S3cosθ2-3 + S4cosθ2-4
  S3 = S1cosθ1-3 + S2cosθ2-3 + S4cosθ3-4
  S4 = S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4 + S3cosθ3-4)
  師:很好!那麼,在四面體中是否還有類似於餘弦定理的性質?
  (啟發學生注意餘弦定理的證明,它能否利用三角形的射影定理得到證明?從而在證明分析過程中找到四面體的類似性質,並讓學生寫出完整的 證明:
  四面體ABCD同上設,則
  S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cosθ2-3 - 2S2S4 cosθ2-4 - 2S3S4 cosθ3-4
  S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S3S4 cosθ3-4
  S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
  S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S3 cosθ1-3 - 2S2S3 cosθ2-3
  特別地,當cosθ1-2 = cosθ1-4 = cosθ2-4 = 0,即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均為直二面角(也就是AB、AC、BC兩兩垂直)時,有
  S32 = S12 + S22 +S42,
  這恰好可以看成是三角形勾股定理的類比,從而,在某一個頂點處三條棱兩兩垂直的四面體就是直角三角形的類比四面體。早在一千八百多年以前,我們的先輩就研究過這種四面體,著名的中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中稱其為鱉nuo。一個頂點處三條棱兩兩垂直的四面體我們在上個學期已經遇到過,並且曾經證明除三個直角三角形的面外,剩下的面一定是銳角三角形。現在我們又知道,銳角三角形面積的平方等於三個直角三角形的面積的平方和。
  四面體上的餘弦定理略證:
  S32 = S3S1cosθ1-3 + S3S2cosθ2-3 + S3S4cosθ3-4
  = S1 S3cosθ1-3 + S2 S3cosθ2-3 + S3 S4cosθ3-4
  = S1(S1 - S2cosθ1-2 + S4cosθ1-4)+
  S2(S2 - S1cosθ1-2 + S4cosθ2-4)+
  S4(S4 - S1cosθ1-4 + S2cosθ2-4)
  = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cosθ1-2 - 2S1S4 cosθ1-4 - 2S2S4 cosθ2-4
  四面體作為最簡單、最基本的幾何體,了解它的性質是必要的.與四面體關係密切的多面體是其外接平行六面體(過四面體三組對棱所作的三組平行平面圍成的平行六面體),通過外接平行六面體,可以得出四面體下面的(1),(2)性質.由反證法等,還可以得到下面的(3),(4)等性質.
  (1)四面體各棱長的平方和,等於三組對棱中點連線的平方和的四倍;
  (2)四面體四中線(連四面體各頂點與其對面重心的線段)交於一點,這點稱為四面體的重心,重心分各中線從頂點算起的兩部分之比為3∶1.
  (3)任何一個四面體總有一個端點,從這個端點發出的三條棱為三邊可以作成一個三角形;
  (4)除四面體外,不存在任何一種凸多面體,它的每一個頂點和所有其餘的頂點之間都有棱相連接;
  (5)若四面體四個面的面積相等,則四面體的對棱分別相等(對棱分別相等的四面體稱為等腰四面體或等面四面體);
  (6)若四面體的外接球球心與內切球球心重合,則四面體的對棱分別相等;
  (7)若四面體的兩組對棱互相垂直(有兩組對棱互相垂直的四面體稱為重心四面體或正交四面體),則第三組對棱也互相垂直;
  (8)若四面體的兩組對棱互相垂直,則三組對棱中點連線(段)都相等

5 四面體 -外接球

  推論1:正n稜錐必有外接球
  推論2:底面有外接圓的三稜錐有外接球。外接球的球心在過底面外接圓圓心的底面垂線上。

6 四面體 -化學期刊

  《四面體》(Tetrahedron)是一本登載有關有機化學的原創研究論文的期刊。
  
《四面體》期刊
出版者: 愛思唯爾出版社
  ISSN: 0040-4020
  外發行號:545C0002
  期刊: 季刊 1957-
  周刊 1991-
  半月刊 1968-1990
上一篇[近藤勇]    下一篇 [窈娘]

相關評論

同義詞:暫無同義詞