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因式分解(分解因式)Factorization,把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解,也叫作分解因式。在數學求根作圖方面有很廣泛的應用。

1因式分解

因式分解的定義和主要方法常規因式分解主要公式 定義把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解(也叫作分解因式)。
意義:它是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活,技巧性強,學習這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內容所必需的,而且對於培養學生的解題技能,發展學生的思維能力,都有著十分獨特的作用。學習它,既可以複習整式的四則運算,又為學習分式打好基礎;學好它,既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力,又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。
分解因式與整式乘法為相反變形。
同時也是解一元二次方程中因式分解法的重要步驟.

2高級結論

在高等數學上因式分解有一些重要結論,在初等數學層面上證明很困難,但是理解很容易。
1、因式分解與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程,初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明,對於一元三次和一元四次方程,也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜,在非專業領域沒有介紹。對於分解因式,三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法,只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式,已經證明不能找到固定的因式分解法,五次以上的一元方程也沒有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上多項式在實數範圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如X^4+1,這是一個一元四次多項式,看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3,所以一定可以因式分解。如果有興趣,你也可以用待定係數法將其分解,只是分解出來的式子並不整潔。
3 、因式分解雖然沒有固定方法,但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高,但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高,所以反覆利用多項式的除法也可以但比較笨,不過能有效地解決找公因式的問題。

3方法

因式分解沒有普遍適用的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上,又有拆項和添減項法,十字相乘法,待定係數法,雙十字相乘法,對稱多項式,輪換對稱多項式法,余式定理法,求根公式法,換元法,長除法,短除法,除法等。
注意四原則:
1.分解要徹底(是否有公因式,是否可用公式)
2.最後結果只有小括弧
3.最後結果中多項式首項係數為正(例如:
-3x^2+x=x\left(-3x+1\right)
)不一定首項一定為正,如
-2x-3xy-4xz=-x\left(2+3y+4z\right)
歸納方法:
1.提公因式法。
2.運用公式法。
3.分組分解法。
4.拼湊法。
拼湊法實例

  拼湊法實例

5.組合分解法。
6.十字相乘法。
7.雙十字相乘法。
8.配方法。
9.拆項補項法。
10.換元法。
11.長除法。
12.求根法。
13.圖象法。
14.主元法。
15.待定係數法。
16.特殊值法。
17.因式定理法。
解方程法
通過解方程來進行因式分解,如
X^2+2X+1=0 ,解,得X1=-1,X2=-1,就得到原式=(X+1)×(X+1)

4競賽方法

分組分解是解方程的一種簡潔的方法,下面是這個方法的詳細講解。
能分組分解的多項式有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法。
比如:
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難。
同樣,這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
因式分解
=(5x+3y)(a+b)
說明:係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕鬆解出。
2. x^3-x^2+x-1
解法:=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x^2+1)
利用二二分法,提公因式法提出 x^2,然後相合輕鬆解決。
3. x^2-x-y^2-y
相關公式

  相關公式

解法:=(x^2-y^2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b),然後相合解決。
學奧數的同學必須會,但是一般水平的學生也可以看一看,在解題時是一個很好用的方法,也很簡單。
這種方法有兩種情況。
①x^2+﹙p+q﹚x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
例1:x^2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab,n=cd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+c)(bx+d).
例2:分解7x^2-19x-6
圖示如下:a=1 b=7 c=2 d=-3
因式分解
因式分解
因為 -3×7=-21,1×2=2,且-21+2=-19,
所以,原式=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口訣:分二次項,分常數項,交叉相乘求和得一次項。
例3:6X^2+7X+2
第1項二次項(6X^2)拆分為:2×3
第3項常數項(2)拆分為:1×2
2(X) 3(X)
1 2
對角相乘:1×3+2×2得第2項一次項(7X)
∴6X^2+7X+6=(2X+1)(3X+2)
與之對應的還有雙十字相乘法,也可以學一學。
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如:x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5).
對於多項式f(x),如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)
注意:1、對於係數全部是整數的多項式,若X=q/p(p,q為互質整數時)該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項係數約數
2.對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數,c為常數項,則有a為c/b約數
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元。
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時,可以令y=x^2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).
也可以參看右圖。
令多項式f(x)=0,求出其根為x^1,x^2,x^3,……,x^n,則該多項式可分解為f(x)=a(x-x^1)(x-x^2)(x-x^3)……(x-x^n) .
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5 ,-3,-2,1.
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖像與X軸的交點x^1,x^2,x^3,……x^n ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=a(x-x^1)(x-x^2)(x-x^3)……(x-x^n).
與方法⑼相比,能避開解方程的繁瑣,但是不夠準確。
例如在分解x^3+2x^2-5x-6時,可以令y=x^3+2x^2-5x-6.
作出其圖像,與x軸交點為-3,-1,2
則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。
待定係數法
首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母係數,求出字母係數,從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時,由分析可知:這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
相關公式

  相關公式

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得
a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).
也可以參看右圖。
二次多項式
(根與係數關係二次多項式因式分解)
例:對於二次多項式 aX^2+bX+c(a≠0)
aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+c/a].
當△=b^2-4ac≥0時,設aX^2+bX+c=0的解為X1,X2
=a(X^2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).

5分解步驟

①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;
②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解
④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括:「先看有無公因式,再看能否套公式。十字相乘試一試,分組分解要相對合適。」

6例題

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.
解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(補項)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=[(x+1)^2-y(x+1)(x-1)][(x-1)^2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求證:對於任何整數x,y,下式的值都不會為33:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
當y=0時,原式=x^5不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。
3..△ABC的三邊a、b、c有如下關係式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求證:這個三角形是等腰三角形。
分析:此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a、b、c是△ABC的三條邊,
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0,
即a=c,△ABC為等腰三角形。
4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

7四個注意

因式分解中的四個注意,可用四句話概括如下:首項有負常提負,各項有「公」先提「公」,某項提出莫漏1,括弧裡面分到「底」。現舉下例,可供參考。
例1 把-a^2-b^2+2ab+4分解因式。
解:-a^2-b^2+2ab+4=-(a^2-2ab+b^2-4)=-[(a-b)^2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
這裡的「負」,指「負號」。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括弧內第一項係數是正的。防止學生出現諸如-9x^2+4y^2=(-3x)^2-(2y)^2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯誤。
這裡的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式;這裡的「1」,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式后,括弧內切勿漏掉1。
分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底,不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「乾淨」,不留「尾巴」,並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x^4y^2-5x^2y^2-9y^2=y^2(4x^4-5x^2-9)=y(x+1)(4x^2-9)的錯誤,因為4x^2-9還可分解為(2x+3)(2x-3)。
考試時應注意:
在沒有說明化到實數時,一般只化到有理數就夠了,有說明實數的話,一般就要化到實數!
由此看來,因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中,與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話:「先看有無公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適」等是一脈相承的。

8應用

1. 應用於多項式除法。
:a(b−1)(ab+2b+a)
  說明:(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a).
2. 應用於高次方程的求根。
3. 應用於分式的通分與約分
順帶一提,梅森合數分解已經取得一些微不足道的進展:
1,p=4r+3,如果8r+7也是素數,則:(8r+7)|(2^P-1)。即(2p+1)|(2^P-1)
例如:
23|(2^11-1);;11=4×2+3
47|(2^23-1);;23=4×5+3
167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2^n×3^2+1,,則(6p+1)|(2^P-1),
例如:223|(2^37-1);;37=2×2×3×3+1
439|(2^73-1);73=2×2×2×3×3+1
3463|(2^577-1);;577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3,p=2^n×3^m×5^s-1,則(8p+1)|(2^P-1)
例如;233|(2^29-1);29=2×3×5-1
1433|(2^179-1);179=2×2×3×3×5-1
1913|(2^239-1);239=2×2×2×2×3×5-1

9分解公式

完全平方公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^;2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
十字相乘公式
十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。要務必注意各項係數的符號。
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
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