標籤:常數無理數圓周率超越數P級數

圓周率,一般以π來表示,是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。 在分析學上,π可以嚴格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實數x。

1簡介概述

圓周率(π讀pài)是一個常數(約等於3.141592654),是代表圓周長和直徑的比值。它是一個無理數,
圓周率

  圓周率

即是一個無理數,即無限不循環小數。在日常生活中,通常都用3.14來代表圓周率去進行近似計算,即使是工程師或物理學家要進行較精密的計算,也只取值至小數點后約20位。
π是第十六個希臘字母。π這個符號,是希臘語 περιφρεια (表示周邊,地域,圓周等意思)的首字母。 1706年英國數學家威廉·瓊斯(William Jones ,1675-1749)最先使用「π」來表示圓周率,π在希臘字母中排行第十六,也是希臘語「周長」的第一個字母。1737年,瑞士大數學家歐拉也開始用π表示圓周率。從此,π便成了圓周率的代名詞。

2歷史發展

幾何法時期
古希臘作為古代幾何王國對圓周率的貢獻尤為突出。古希臘大數學家阿基米德(公元前287–212 年) 開創了人類歷史上通過數學演算法計算圓周率近似值的先河。阿基米德從單位圓出發,先用內接正六邊形求出圓周率的下界為3,再用外接正六邊形並藉助勾股定理求出圓周率的上界小於4。接著,他對內接正六邊形和外接正六邊形的邊數分別加倍,將它們分別變成內接正12邊形和外接正12邊形,再藉助勾股定理改進圓周率的下界和上界。他逐步對內接正多邊形和外接正多邊形的邊數加倍,直到內接正96邊形和外接正96邊形為止。最後,他求出圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7, 並取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代演算法和兩側數值逼近的概念,稱得上是「計算數學」的鼻祖。
中國古算書《周髀算經》(約公元前2世紀)的中有「徑一而周三」的記載,意即取π=3。漢朝時,張衡得出π的平方除以16等於5/8,即π等於10的開方(約為3.162)。這個值不太準確,但它簡單易理解。
公元263年,中國數學家劉徽用「割圓術」計算圓周率,他先從圓內接正六邊形,逐次分割一直算到圓內接正192邊形。他說「割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。」,包含了求極限的思想。劉徽給出π=3.141024的圓周率近似值,劉徽在得圓周率=3.14之後,將這個數值和晉武庫中漢王莽時代製造的銅製體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗,發現3.14這個數值還是偏小。於是繼續割圓到1536邊形,求出3072邊形的面積,得到令自己滿意的圓周率3927/1250=3.1416。
公元480年左右,南北朝時期的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點后7位的π值,給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927,還得到兩個近似分數值,密率355/113和約率22/7。在之後的800年裡祖沖之計算出的π值都是最準確的。其中的密率在西方直到1573年才由德國人奧托得到,1625年發表於荷蘭工程師安托尼斯的著作中,歐洲稱之為安托尼斯率。
約在公元530年,印度數學大師阿耶波多利用384邊形的周長,算出圓周率約為√9.8684。婆羅門笈多採用另一套方法,推論出圓周率等於10的算術平方根。
阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值,打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值,后投入畢生精力,於1610年算到小數后35位數,該數值被用他的名字稱為魯道夫數。
計算機時代
電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年,美國製造的世上首部電腦-ENIAC(Electronic Numerical Interatorand Computer)在亞伯丁試驗場啟用了。次年,里特韋斯納、馮紐曼和梅卓普利斯利用這部電腦,計算出π的2037個小數位。這部電腦只用了70小時就完成了這項工作,扣除插入打孔卡所花的時間,等於平均兩分鐘算出一位數。五年後,NORC(海軍兵器研究計算機)只用了13分鐘,就算出π的3089個小數位。科技不斷進步,電腦的運算速度也越來越快,在60年代至70年代,隨著美、英、法的電腦科學家不斷地進行電腦上的競爭,π的值也越來越精確。在1973年,Jean Guilloud和M. Bouyer發現了π的第一百萬個小數位。
在1976年,新的突破出現了。薩拉明(Eugene Salamin)發表了一條新的公式,那是一條二次收斂算則,也就是說每經過一次計算,有效數字就會倍增。高斯以前也發現了一條類似的公式,但十分複雜,在那沒有電腦的時代是不可行的。之後,不斷有人以高速電腦結合類似薩拉明的算則來計算π的值。
1989年美國哥倫比亞大學研究人員用克雷-2型和IBM-VF型巨型電子計算機計算出π值小數點后4.8億位數,后又繼續算到小數點后10.1億位數,創下最新的紀錄。2010年1月7日——法國一工程師將圓周率算到小數點后27000億位。2010年8月30日——日本計算機奇才近藤茂利用家用計算機和雲計算相結合,計算出圓周率到小數點后5萬億位。
2011年10月16日,日本長野縣飯田市公司職員近藤茂利用家中電腦將圓周率計算到小數點后10萬億位,刷新了2010年8月由他自己創下的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂使用的是自己組裝的計算機,從10月起開始計算,花費約一年時間刷新了紀錄。
日期
計算者
證明
前20世紀
巴比倫人
π= 3.125
前20世紀
印度人
π= 3.160493...
前12世紀
中國
π=3
前6世紀中
聖經列王記上7章23節
π=3
前3世紀
阿基米德
π=3.1418
前20年
Vitruvius
π= 3.125
前50年-23年
劉歆
π=3.1547
130年
張衡
π=3.162277...
150年
托勒密
π=3.141666...
250年
王蕃
π=3.155555...
263年
劉徽
π=3.14159
480年
祖沖之
3.1415926 <π< 3.1415927
499年
Aryabhatta
π== 3.1416
598年
Brahmagupta
π=3.162277...
800年
花拉子米
π=3.1416
12世紀
Bhaskara
π=3.14156
1220年
比薩的列奧納多
π=3.141818
1400年
Madhava
π=3.14159265359
1424年
Jamshid Masud Al Kashi
π=16位小數
1573年
Valenthus Otho
π=6位小數
1593年
Francois Viete
π=9位小數
1593年
Adriaen van Roomen
π=15位小數
1596年
魯道夫·范·科伊倫
π=20位小數
1615年
π=32位小數
1621年
威理博·司乃耳, 范·科伊倫的學生
π=35位小數
1665年
牛頓
π=16位小數
1699年
Abraham Sharp
π=71位小數
1700年
Seki Kowa
π=10位小數
1706年
John Machin
π=100位小數
1706年
William Jones
引入希臘字母π
1719年
De Lagny
π=127位小數
(並非全部是正確的)
1723年
Takebe
π=41位小數
1730年
Kamata
π=25位小數
1734年
萊昂哈德·歐拉
引入希臘字母π並肯定其普及性
1739年
Matsunaga
π=50位小數
1761年
Johann Heinrich Lambert
證明π是無理數
1775年
歐拉
指出π可能是超越數
1789年
Jurij Vega
π=140位小數
並非全部是正確的
1794年
阿德里安-馬里·勒讓德
-
1841年
Rutherford
π=208位小數
並非全部是正確的
1844年
Zacharias Dase及Strassnitzky
π=200位小數
1847年
Thomas Clausen
π=248位小數
1853年
Lehmann
π=261位小數
1853年
Rutherford
π=440位小數
1853年
William Shanks
π=527位小數
1855年
Richter
π=500位小數
1874年
en:William Shanks
π=707位小數
並非全部是正確的
1882年
Lindemann
證明π是超越數
1946年
D. F. Ferguson
π=620位小數
1947年
π=710位小數
1947年
π=808位小數
1949年
J. W. Wrench爵士和L. R. Smith
π=2037位小數
首次使用計算機
1955年
J. W. Wrench, Jr,及L. R. Smith
π=3089位小數
1957年
G.E.Felton
π=7480位小數
1958年
Francois Genuys
π=10 000位小數
1958年
G.E.Felton
π=10 020位小數
1959年
Francois Genuys
π=16 167位小數
1961年
IBM 7090晶體管計算機
π=20 000位小數
1961年
J. W. Wrench, Jr,及L. R. Smith
π=100 000位小數
1966年
π=250 000位小數
1967年
π=500 000位小數
1974年
π=1 000 000位小數
1981年
金田康正
π=2 000 000位小數
1982年
π=4 000 000位小數
1983年
π=8 000 000位小數
1983年
π=16 000 000位小數
1985年
Bill Gosper
π=17 000 000位小數
1986年
David H. Bailey
π=29 000 000位小數
1986年
金田康正
π=33 000 000位小數
1986年
π=67 000 000位小數
1987年
π=134 000 000位小數
1988年
π=201 000 000位小數
1989年
楚諾維斯基兄弟
π=480 000 000位小數
1989年
π=535 000 000位小數
1989年
金田康正
π=536 000 000位小數
1989年
楚諾維斯基兄弟
π=1 011 000 000位小數
1989年
金田康正
π=1 073 000 000位小數
1992年
π=2 180 000 000位小數
1994年
楚諾維斯基兄弟
π=4 044 000 000位小數
1995年
金田康正和高橋
π=4 294 960 000位小數
1995年
π=6 000 000 000位小數
1996年
楚諾維斯基兄弟
π=8 000 000 000位小數
1997年
金田康正和高橋
π=51 500 000 000位小數
1999年
π=68 700 000 000位小數
1999年
π=206 000 000 000位小數
2002年
金田康正的隊伍
π=1 241 100 000 000位小數
2009年
高橋大介
π=2 576 980 370 000位小數
2009年
法布里斯·貝拉
π=2 699 999 990 000位小數
2010年
近藤茂
π=5 000 000 000 000位小數
2011年
IBM藍色基因/P超級計算機
π=60 000 000 000 000位小數

3相關公式

把圓周率的數值算得這麼精確,實際意義並不大。現代科技領域使用的圓周率值,有十幾位已經足夠了。如果用魯道夫算出的35位精度的圓周率值,來計算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長,誤差還不到質子直徑的百萬分之一。以前的人計算圓周率,是要探究圓周率是否循環小數。自從1761年蘭伯特證明了圓周率是無理數,1882年林德曼證明了圓周率是超越數后,圓周率的神秘面紗就被揭開了。
π在許多數學領域都有非常重要的作用。
代數
π是個無理數,即不可表達成兩個整數之比,是由JohannHeinrich Lambert於1761年證明的。 1882年,Ferdinand Lindemann更證明了π是超越數,即不可能是任何有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性,因所有尺規作圖只能得出代數數,而超越數不是代數數。

4數學分析

圓周率
圓周率
圓周率
特斯林近似公式:
圓周率
歐拉恆等式:
圓周率
π的連分數表示:
圓周率
圓周率
概率論
設我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地板,隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針,求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題。1777 年,布豐自己解決了這個問題——這個概率值是 1/π。
物理學
海森堡不確定性原理:
圓周率
相對論的場方程:
圓周率

5趣聞事件

歷史上最馬拉松式的手工π值計算,其一是德國的LudolphVan Ceulen,他幾乎耗盡了一生的時間,計算到圓的內接正262邊形,於1609年得到了圓周率的35位精度值,以至於圓周率在德國被稱為Ludolph數;其二是英國的威廉·山克斯,他耗費了15年的光陰,在1874年算出了圓周率的小數點后707位,並將其刻在了墓碑上作為一生的榮譽。可惜,後人發現,他從第528位開始就算錯了。
圓周率的最新計算紀錄由日本筑波大學所創造。他們於2009年算出π值2576980370000 位小數,這一結果打破了由日本人金田康正的隊伍於2002年創造的1241100000000位小數的世界紀錄。
日本人AkiraHaraguchi曾在2005年將π背到了小數點后第 83431 位,創造了個人背誦圓周率的世界紀錄。
在Google公司2005年的一次公開募股中,集資額不是通常的整頭數,而是$14,159,265,這當然是由π小數點后的位數得來。(順便一提,谷歌公司2004年的首次公開募股,集資額為$2,718,281,828,與數學常數e有關)
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數,使之越來越接近π的值:3.1,3.14,……當前的最新版本號是3.141592
每年3月14日為圓周率日,「終極圓周率日」則是1592年3月14日6時54分,(因為其英式記法為「3/14/15926.54」,恰好是圓周率的十位近似值。)和3141年5月9日2時6分5秒(從前往後,3.14159265)4.
7月22日為圓周率近似日(英國式日期記作22/7,看成圓周率的近似分數)
有數學家認為真正的圓周率應為2π,並將「真正的圓周率」記為τ(發音:tau)。數學界對圓周率到底是π還是τ長期存在爭論。
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