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以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸,其餘兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。

1 圓錐 -定義

解析幾何:圓錐面和一個截它的平面(滿足交線為圓)組成的空間幾何圖形。
立體幾何:以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸,其餘兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。

圓錐圓錐


 

2 圓錐 -圓錐的體積

一個圓錐所佔空間的大小,叫做這個圓錐的體積.
一個圓錐的體積等於與它等底等高的圓柱的體積的1/3
  根據圓柱體積公式V=Sh(V=πr^2h),得出圓錐體積公式:
  V=1/3Sh(V=1/3SH)
  S是底面積,h是高,r是底面半徑。
  證明:
  把圓錐沿高分成k分 每份高 h/k,
  第 n份半徑:n*r/k
  第 n份底面積:pi*n^2*r^2/k^2
  第 n份體積:pi*h*n^2*r^2/k^3
  總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
  因為
  1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
  所以
  總體積(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
  =pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
  =pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
  因為當n越來越大,總體積越接近於圓錐體積,1/k越接近於0
  所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
  因為V柱=pi*h*r^2
  所以
  V錐是與它等底等高的V柱體積的1/3
  證畢。

也可用實驗法來驗證圓滿錐的體積公式:

1、材料準備
水槽 , 等底等高的圓柱、圓錐容器各1個 , 水(或沙) , 小口杯 , 小桶

2、實驗過程

(1)把水將圓錐體灌滿,小心將水倒入圓柱體時不能讓水溢漏,看幾圓錐水能裝滿一圓柱。
(2)反覆實踐,彙報結果。
(3)將一滿圓柱水把圓錐倒滿,看分幾次能把一滿圓柱水倒完,反覆實踐,彙報結果。

3、實驗結果

等底等高的圓柱和圓錐,3滿圓錐的水能把1個圓柱倒滿,1滿圓柱的水分3滿圓錐才能倒完,即3V圓錐=V圓柱,V圓錐=1/3V圓柱

3 圓錐 -圓錐的表面積

一個圓錐表面的面積叫做這個圓錐的表面積.
圓錐展開圖S=πr^2(n/360)+πr^2或(1/2)αr^2+πr^2(此n為角度制,α為弧度制,α=π(n/180)

圓錐展開圖圓錐展開圖

4 圓錐 -圓錐的計算公式

圓錐的側面積=1/2*母線長*底面周長
圓錐的表面積=底面積+側面積 S=πr的平方+πra (注a=母線)
圓錐的體積=1/3SH 或 1/3πr的平方h

5 圓錐 -圓錐的其它概念

圓錐的高:

 圓錐的頂點到圓錐的底面圓心之間的距離叫做圓錐的高;

圓錐的側面積:

將圓錐的側面沿母線展開,是一個扇形,這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長,而扇形的半徑等於圓錐的母線的長. 圓錐的側面積就是弧長(圓錐底面的周長)*母線/2=πrl其中r指底面半徑,l指母線長;沒展開時是一個曲面。 

圓錐的母線:

圓錐的側面展開形成的扇形的半徑、底面圓上到頂點的距離。
圓錐有一個底面、一個側面、一個頂點、一條高、無數條母線,且側面展開圖是扇形。

6 圓錐 -圓錐的三視圖

主視圖:等腰三角形

左視圖:等腰三角形

俯視圖:圓

7 圓錐 -圓錐的應用

 

圓錐圓錐


8 圓錐 -開放分類:


數學、幾何
 
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