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圓錐曲線(英語:conic section),又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次曲線,是數學、幾何學中通過平切圓錐(嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切)得到的一些曲線,圓錐曲線在約前200年時就已被命名和研究了,其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼阿斯(Apollonius of Perga,前262年~前190年),那時阿波羅尼阿斯對它們的性質已做了系統性的研究。

 

1 圓錐曲線 -概述

圓錐曲線圓錐曲線
 圓錐曲線包括橢圓,雙曲線,拋物線

  1. 橢圓:到兩個定點的距離之和等於定長(定長大於兩個定點間的距離)的動點的軌跡叫做橢圓。即:{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
  2.雙曲線:到兩個定點的距離的差的絕對值為定值(定值小於兩個定點的距離)的動點軌跡叫做雙曲線。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
   3. 拋物線:到一個定點和一條定直線的距離相等的動點軌跡叫做拋物線。
    4. 圓錐曲線的統一定義:到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。當0<1時為橢圓:當E=1時為拋物線;當E>1時為雙曲線。

·圓錐曲線由來:圓,橢圓,雙曲線,拋物線同屬於圓錐曲線。早在兩千多年前,古希臘數學家對它們已經很熟悉了。古希臘數學家阿波羅尼採用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直與錐軸的平面去截圓錐,得到的是圓;把平面漸漸傾斜,得到橢圓;當平面和圓錐的一條母線平行時,得到拋物線;當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫「虧曲線」,把雙曲線叫做「超曲線」,把拋物線叫做「齊曲線」。

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2 圓錐曲線 -圓錐曲線的參數方程和直角坐標方程


1)直線   
參數方程:x=X+tcosθ  y=Y+tsinθ (t為參數)
直角坐標:y=ax+b   
2)圓
參數方程:x=X+rcosθ  y=Y+rsinθ (θ為參數 )
直角坐標:x^2+y^2=r^2 (r 為半徑)
3)橢圓
參數方程:x=X+acosθ  y=Y+bsinθ (θ為參數 )
直角坐標(中心為原點):x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
4)雙曲線
參數方程:x=X+asecθ  y=Y+btanθ (θ為參數 )
直角坐標(中心為原點):x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (開口方向為x軸) y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (開口方向為y軸)
5)拋物線
參數方程:x=2pt^2   y=2pt  (t為參數)
直角坐標:y=ax^2+bx+c (開口方向為y軸, a<>0 )   x=ay^2+by+c (開口方向為x軸, a<>0 )

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