標籤:數學面積圓周率

圓,是一種規則的平面幾何圖形,圓面積就是指圓形的圖形所佔的平面空間大小,其計算方法有很多種,比較常見的是開普勒的求解方法、卡瓦利里的求解方等等。

1求解

怎樣求圓面積?這已是一個非常簡單的問題,用公式一算,結論就出來了。可是你可知道這個公式是怎樣得來的嗎?在過去漫長的年代里,人們為了研究和解決這個問題,不知遇到了多少困苦,花費了多少精力和時間。
在平面圖形中,以長方形的面積最容易計算了。用大小一樣的正方形磚鋪墊長方形地面,如果橫向用八塊,縱向用六塊,那一共就用了8×6=48塊磚。所以求長方形面積的公式是:長×寬。
求平行四邊形的面積,可以用割補的方法,把它變成一個與它面積相等的長方形。長方形的長和寬,就是平行四邊形的底和高。所以求平行四邊形面積的公式是:底×高。
求三角形的面積,可以對接上一個和它全等的三角形,成為一個平行四邊形。這樣,三角形的面積,就等於和它同底同高的平行四邊形面積的一半。因此,求三角形面積的公式是:底×高÷2
任何一個多邊形,因為可以分割成若干個三角形,所以它的面積,就等於這些三角形面積的和。

2歷史難題

4000多年前修建的埃及胡夫金字塔,底座是一個正方形,佔地52900m2。它的底座邊長和角度計算十分準確,誤差很小,可見當時測算大面積的技術水平已經很高。
圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。怎樣求圓的面積,是數學對人類智慧的一次考驗。
也許你會想,既然正方形的面積那麼容易求,我們只要想辦法做出一個正方形,使它的面積恰好等於圓面積就行了。是啊,這樣的確很好,但是怎樣才能做出這樣的正方形呢?
你知道古代三大幾何難題嗎?其中的一個,就是剛才講到的化圓為方。這個起源於古希臘的幾何作圖題,在2000多年裡,不知難倒了多少能人,直到19世紀,人們才證明了這個幾何題,是根本不可能用古代人的尺規作圖法作出來的。

3解法探究

開普勒的求解方法
16世紀的德國天文學家開普勒,是一個愛觀察、肯動腦筋的人。他把丹麥天文學家第谷遺留下來的大量天文觀測資料,認真地進行整理分析,提出了著名的「開普勒三定律」。開普勒第一次告訴人們,地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓,太陽位於其中的一個焦點上。
提出圓面積公式
開普勒當過數學老師,他對求面積的問題非常感興趣,曾進行過深入的研究。他想,古代數學家用分割的方法去求圓面積,所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度,他們不斷地增加分割的次數。但是,不管分割多少次,幾千幾萬次,只要是有限次,所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精確值,必須分割無窮多次,把圓分成無窮多等分才行。
開普勒也仿照切西瓜的方法,把圓分割成許多小扇形;不同的是,他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。
圓面積等於無窮多個小扇形面積的和,所以
在最後一個式子中,各段小弧相加就是圓的周長2πR,所以有
這就是我們所熟悉的圓面積公式。
開普勒運用無窮分割法,求出了許多圖形的面積。1615年,他將自己創造的這種求圓面積的新方法,發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。
開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形,並果敢地斷言:無窮小的扇形面積,和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上,向前邁出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立體幾何》一書,很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作,稱讚這本書是人們創造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。
新的理論
一種新的理論,在開始的時候很難十全十美。開普勒創造的求圓面積的新方法,引起了一些人的懷疑。他們問道:開普勒分割出來的無窮多個小扇形,它的面積究竟等於不等於零?如果等於零,半徑OA和半徑OB就必然重合,小扇形OAB就不存在了;如果客觀存在的面積不等於零,小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等。開普勒把兩者看作相等就不對了。
面對別人提出的問題,開普勒自己也解釋不清。
新的求解方法
卡瓦利里緊緊抓住自己的想法,反覆琢磨,提出了求圓面積和體積的新方法。
1635年,當《葡萄酒桶的立體幾何》一書問世20周年的時候,義大利出版了卡瓦利里的《不可分量幾何學》。在這本書中,卡瓦利里把點、線、面,分別看成是直線、平面、立體的不可分量;把直線看成是點的總和,把平面看成是直線的總和,把立體看成是平面的總和。
卡瓦利里還根據不可分量的方法指出,兩本書的外形雖然不一樣,但是,只要頁數相同,薄厚相同,而且每一頁的面積也相等,那麼,這兩本書的體積就應該相等。他認為這個道理,適用於所有的立體,並且用這個道理求出了很多立體的體積。這就是有名的「卡瓦利里原理。」
事實上,最先提出這個原理的,是中國數學家祖沖之。比卡瓦利里早1000多年,所以我們叫它「祖暅原理」。
在一個圓里畫一個最大的正方形,正方形占圓面積的約63.7%,在一個圓外畫一個最小的正方形,正方形面積是圓形面積的157%。

4公式推導

圓面積公式的推導
把圓平均分成若干份,可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬就等於圓的半徑(r),長方形的長就是圓周長(C)的一半。長方形的面積是ab,那圓的面積就是:圓的半徑(r)的平方乘以π,S=πrr。
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