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埃爾朗根綱領

標籤:數學拓撲學幾何學

1872年德國數學家克萊因在埃爾朗根大學的教授就職演講中,作了題為《關於近代幾何研究的比較考察》的論文演講,論述了變換群在幾何中的主導作用,把到當時為止已發現的所有幾何統一在變換群論觀點之下,明確地給出了幾何的一種新定義,把幾何定義為一個變換群之下的不變性質。這種觀點突出了變換群在研討幾何中的地位,後來簡稱為《埃爾朗根綱領》。

1內容

1872年,德國數學家克萊因在埃爾朗根大學做教授就職演講時,提出題為《關於近代幾何研究的比較考察》的論文。他提出,所謂幾何學,就是研究圖形對於某類變換保持不變的性質的學問,按照這一觀點,所謂圖形的「幾何性質」便是它們對於某變換群保持不變的性質。換言之,有多少種不同的變換群,就有多少種不同的幾何學。克萊因的這個觀點後來被稱為《埃爾朗根綱領》。
德國數學家克萊因

  德國數學家克萊因

2 簡介 S仿射群

不變數
克萊因把空間M中圖形的等價性質稱為幾何性質或不變性質,而且把幾何性質與在已知群G中任意變換下不變的量結合起來,這些不變數顯然是一切等價圖形所共有的。在某一群 G中一切變換下的所有不變性質稱為從屬於G的性質,研究從屬於G的性質的幾何稱為從屬於G的幾何。
小結
根據以上所述,在某一變換群之下的不變性質必是它的子群的性質,但反過來未必成立,就是說,群越大,則其幾何內容越少;群越小,則其幾何內容越多。例如,在歐氏幾何中可以討論仿射性質(單比、平行性等),而在仿射幾何中討論某些度量性質(如距離、角度等)是沒有意義的。
埃爾朗根綱領的提出,正意味著對幾何認識的深化。它把所有幾何化為統一的形式,使人們明確了古典幾何所研究的對象;同時顯示出如何建立抽象空間所對應幾何的方法,對以後幾何的發展起了指導性的作用,故有深遠的歷史意義。
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