標籤:微分方程高等代數函數論

埃爾米特(Charles Hermite,1822—1901) 法國數學家。巴黎綜合工科學校畢業。曾任法蘭西學院、巴黎高等師範學校、巴黎大學教授。法蘭西科學院院士。在函數論、高等代數、微分方程等方面都有重要發現。1858年利用橢圓函數首先得出五次方程的解。1873年證明了自然對數的底e的超越性。在現代數學各分支中以他姓氏命名的概念(表示某種對稱性)很多,如「埃爾米特二次型」、「埃爾米特運算元」等。

1簡介

埃爾米特是十九世紀最偉大的代數幾何學家,但是他大學入學考試重考了五次,每次失敗的原
埃爾米特

  埃爾米特

因都是數學考不好。他的大學讀到幾乎畢不了業,每次考不好都是數學那一科。他大學畢業后考不上任何研究所,因為考不好的科目還是數學。數學是他一生的至愛,但是數學考試是他一生的惡夢。不過這無法改變他的偉大:課本上的「共軛矩陣」是他先提出來的;自然對數的底的「超越數性質」,在全世界,他是第一個證明出來的人。他的一生證明「一個不會考試的人,仍然能有勝出的人生」,並且更奇妙的是不會考試成為他一生的祝福。

2人物血統

翻開歐洲的地圖,在法國的東北角嵌著一塊小小的版圖,名叫洛林(Lorraine)。這個地方自古以來就是兵家必爭之地,因為北扼萊茵河口,南由馬恩河(Marne River)可以直搗巴黎;瀕臨的阿登高地(Ardennes)是軍事制高點;地層中蘊藏歐洲最大的鐵礦。早在神聖羅馬帝國時代,洛林草場上就染滿騎士的鮮血。1871年德國的鐵血雄兵蹂躪法國后,要求法國割讓的土地就是洛林。經過百年來戰爭的洗禮,洛林留下來的是一批苦幹、達觀的法國人,足能面對環境的苦難。埃爾米特1822年12月24日出生在洛林的小村莊Dieuge,他的父祖輩都參與了法國大革命。祖父被大革命后的極端政治團體巴黎公社(Commune)逮捕,後來死於獄中。有些親人死在斷頭台上。他的父親是傑出的冶礦工程師,因為被公社通緝,逃到法國邊界的洛林小村莊,在一家鐵礦場中隱姓埋名做礦工。鐵礦場的主人叫雷利曼(Lallemand),一個標準強悍的洛林人,有一個比他更強悍的女兒瑪德琳(Madeleine)。在那個保守的時代,瑪德琳就以「敢在戶外穿長褲不穿裙子」而著名,兇悍地管理礦工。但是一遇到這位巴黎來的工程師,她就軟化了,明知對方是死刑通緝犯還是嫁給他,而且為他生了七個孩子。埃爾米特在七個孩子中排名第五,生下來右腳就殘障,需扶拐杖行走。他身上一半流著父親優秀聰明、理想奮鬥的血液,一半流著母親敢作敢為、敢愛敢恨的洛林強悍血統,譜成不凡生涯的第一個升記號。

3認識數學

埃爾米特從小就是個問題學生,上課時老愛找老師辯論,尤其是一些基本的問題。他尤其痛恨考試。他在後來的文章中寫道:「學問像大海,考試像魚鉤。老師老要把魚掛在魚鉤上,教魚怎麼能在大海中學會自由、平衡的游泳?」老師看他考不好,就用木條打他的腳,他恨死了。他後來寫道:「達到教育的目的是用頭腦,又不是用腳。打腳有什麼用?打腳可以使人頭腦更聰明嗎?」他的數學考得特別差,主要原因是他的數學特別好。他講的話更讓數學老師抓狂。他說:「數學課本是一灘臭水,是一堆垃圾。數學成績好的人,都是一些二流頭腦的人,因為他們只懂搬垃圾。」他自命為一流的科學狂人。不過他講的也沒錯,歷史上最偉大的數學家大多是文學、外交、工程、軍事等與數學不相干的科系出身的。埃爾米特花許多時間去看數學大師,如牛頓、高斯的原著。他認為只有在那裡才能找到「數學的美,是回到基本點的辯論,那裡才能飲到數學興奮的源頭。」他在年老時,回顧少年時的輕狂,寫道:「傳統的數學教育,要學生按部就班地、一步一步地學習,訓練學生把數學應用到工程或商業上,因此,不重視啟發學生的開創性。但是數學有它本身抽象邏輯的美,例如在解決多次方方程式里,根的存在本身就是一種美感。數學存在的價值,不只是為了生活上的應用,也不應淪為供工程、商業應用的工具。數學的突破仍需要不斷地去突破現有格局。」

4孝順天才

埃爾米特的表現讓父母憂心。父母但求他能把書念好,再多的錢也願意付出,就把他送到巴黎的路易大帝中學(Louis-le-Grand)。因著超卓的數學天份,他無法把自己塞入數學教育的窠臼,但是為了順父母的意,又必須每天面對那些細微繁瑣的計算,以致痛苦得不得了。這位孝順的天才,似乎註定終生的自我折磨。巴黎綜合工科技術學院(Polytechnique)入學考每年舉行兩次。他從十八歲開始參加,考到第五次才以吊車尾的成績通過。其間他幾乎要放棄時,遇到一位數學老師李察(Richard)。李察老師對埃爾米特說:「我相信你是自拉格朗日(Lagrange)以來的第二位數學天才。」拉格朗日被稱為數學界的貝多芬,他所作的求根近似解被譽為「數學之詩」。但是埃爾米特光有天份不夠,李察老師說:「你需要有上帝的恩典,與完成 學業的堅持,才不會被你認為垃圾的傳統教育犧牲掉。」因此他一次又一次地落榜,卻仍繼續堅持應試。

5騎蝸牛人

埃爾米特進技術學院念了一年以後,法國教育當局忽然下一道命令:肢障者不得進入工科學系。埃爾米特只好轉到文學系。文學系裡的數學已經容易很多了,結果他的數學還是不及格。有趣的是,他同時在法國的數學研究期刊《純數學與應用數學雜誌》發表《五次方方程式解的思索》,震驚了數學界。
在人類歷史上,第三世紀的希臘數學家就發現一次方程與二次方程的解法。之後,多少一流數學家埋首苦思四次方程以上到n次方程的解法,始終不得其解。沒想到三百年後,一個文學系的學生,一個數學常考不及格的學生,竟然提出正確的解法。埃爾米特知道自己已經「對數學的開創性研究中毒很深,熱愛得無法自拔」,幸得好朋友勃特倫(Bertrand)趕忙幫他補習學校要考的數學。對這一個具有開創性的天才,僵化的數學教育帶來無邊的苦難;惟有友誼的了解與鼓勵能夠支持他走下去,並使他在二十四歲時,能以及格邊緣的成績自大學畢業。由於不會應付考試,無法繼續升學,他只好找所學校做個批改學生作業的助教。這份助教工作,做了幾乎二十五年,儘管他這二十五年中發表了代數連分數理論、函數論、方程論……已經名滿天下,數學程度遠超過當時所有大學的教授,但是不會考試,沒有高等學位的埃爾米特,只能繼續批改學生作業。社會現實對他就是這麼殘忍、愚昧。

6沒有考試

能夠使埃爾米特不憤世嫉俗、坦然前行的動力是什麼? 有三個重要的因素。一是妻子的了解與同心。埃爾米特的妻子,是他大學好友勃特倫的妹妹,她無怨無悔地跟隨這個不會考試的天才丈夫,一年一年地走下去。二是有人真正地讚賞他,不因他外表的殘廢與沒有耀人的學位而輕視他。欣賞他的人後來也都在數學界享有盛名——包括研究無窮級數收斂、發散與微分方程式而著名的柯西(Cauchy),發表橢圓函數、行列式理論而著名的雅科比(Jacobi),《純數學與應用數學雜誌》的主編劉維爾(Liouville)。這些都是行家,而來自真正行家的惺惺相惜,比考試高分的一點虛偽榮耀,更能支助一個失敗者走較遠的路。三是埃爾米特的信仰。埃爾米特在四十三歲時染患一場大病,柯西來看他,並且把福音傳給他。信仰給他另一種價值與滿足。埃爾米特在四十九歲時,巴黎大學才請他去擔任教授。此後的二十五年,幾乎整個法國的大數學家都出自他的門下。我們無從得知他在課堂上的授課方式,但是有一件事情是可以確定的──沒有考試。

7認識世界

不會考試給他帶來許多麻煩:工作不順利,多次重考,他人的輕視,自卑……。但是給他帶來許多祝福:認識妻子、好友、信仰,與整個生命的成熟。後來美國加州理工學院數學系的教授貝爾(Bell),在他對歷史上數學偉人的回顧上,用一段話描述埃爾米特:「 歷史上的數學家,愈是天才,愈是好譏誚,講話愈多嘲諷。只有一個人例外,就是埃爾米特。他有真正完美的人格。」埃爾米特死於1901年1月4日。晚年寫道:「三角幾何是永恆的、不朽的。自然界里沒有任何一個東西是絕對的三角形。但是在人的腦中卻存在著完美、絕對的三角形,去衡量外面的形形狀狀。沒有人知道為什麼三角的總和就是180度,沒有人知道為什麼三角形的最長邊對應最大角。這些三角幾何的基本特性,不是人去發明出來或想象出來的,而是人在懵懂無知的時候,這些三角特性就存在,並且無論時空如何改變,這些特性也不會改變。我只不過是一個無意中發現這些特性的人。三角幾何的存在,證明有一永久不改變的世界存在。」

8其他成果

埃爾米特是一位熱心的數學傳播者,他經常無保留地向數學界提供他的知識、想法以至創造性的思維火花,他一般通過書信、便條以及講演進行這種傳播.例如,他與T.J.斯蒂爾切斯(StieltjeS)兩人從1882年到1894年間至少寫過432封信.只要認真閱讀埃爾米特的著作,就會發現,他提供了許多可以作為別人發現的序幕的例子,他的數學傳播工作極大地促進了數學的發展.

9原理

埃爾米特是一個全面的數學家,除了前述各項工作外,他在數學的各領域中還取得如下成果:他深入研究了矩陣理論,證明了,如果矩陣M=M*(M的共軛轉置矩陣),則其特徵值都是實數;提出一個屬於代數函數論的埃爾米特原理,是後來著名的黎曼-羅赫定理的特例之一;在不變數方面有較多成果,以致於J.J.西爾威斯特(Sylvester)曾指出,「A.凱萊(Cayley)、埃爾米特和我組成了一個不變數的三位一體」,例如,他提出一個「互反律」,即一個m次二元型的p階固定次數的共變式和一個p次二元型的m階固定次數的共變式之間的一種一一對應關係;埃爾米特推廣了高斯研究整係數二次型的方法,證明了它們對於任意個變數其類數仍是有限的;還把這一結果應用於代數數,證明了,如果一個數域的判別式已給出,則其范型的數目是有限的;他還把這種「類數有限性」用於不定二次型,取得一些重要的結果;他關於拉梅方程(一種微分方程)的研究在當時也有十分重要的意義.

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