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基本不等式:a^2+b^2≥2ab(a、b都為實數),當且僅當a=b時等號成立。

1 基本不等式 - 簡介

即√(ab)≤(a+b)/2 (a≥0,b≥0)
  變形 ab≤((a+b)/2)^2
  a^2+b^2≥2ab
  (當且僅當a=b時,等號成立)
其中,以下√表示根號(3√)表示三次根號,^表示指數 \

2 基本不等式 -證明

如果a、b都為實數,那麼a^2+b^2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立   

證明如下:   

           ∵(a-b)^2≥0   

            ∴a^2+b^2-2ab≥0   

            ∴a^2+b^2≥2ab   

            如果a、b、c都是正數,那麼a+b+c≥3*3√abc,當且僅當a=b=c時等號成立   

              如果a、b都是正數,那麼(a+b)/2 ≥√ab ,當且僅當a=b時等號成立。

           (這個不等式也可理解為兩個正數的算數平均數大於或等於它們的幾何平均數,當且僅當a=b時等號成立。)   

3 基本不等式 -應用

和定積最大:當a+b=S時,ab≤S^2/4(a=b取等)   

積定和最小:當ab=P時,a+b≥2√P(a=b取等)   

均值不等式:如果a,b 都為正數,那麼√(( a^2+b^2)/2)≥(a+b)/2 ≥√ab≥2/(1/a+1/b)(當且僅當a=b時等號成立。)   

( 其中√(( a^2+b^2)/2)叫正數a,b的平方平均數也叫正數a,b的加權平均數;(a+b)/2叫正數a,b的算數平均數;√ab正數a,b的幾何平均數;2/(1/a+1/b)叫正數a,b的調和平均數。)   

同向不等式:不等號相同的兩個或幾個不等式叫同向不等式,例:2x+5>3與3x-2>5是同向不等式   

異向不等式:不等號相反的兩個不等式叫異向不等式。   

絕對不等式:不等式中對於字母所能取的一切允許值不等式都成立,這樣的不等式叫絕對不等式,例:X^2+3>0,√X+1>-1等都是絕對不等式。   

矛盾不等式:不等式中,對於字母所能取的一切允許值不等式都不成立,這樣的不等式叫矛盾不等式   

條件不等式:不等式中對於字母所能取的某些允許值不等式能成立面對字母所能取的另外一些允許值不等式不能成立,這樣的不等式叫條件不等式。例:3X+5>0 lg-<1等都是條件不等式。

4 基本不等式 -其他不等式

 琴生不等式   

   均值不等式   

   絕對值不等式   

   權方和不等式   

   赫爾德不等式   

    閔可夫斯基不等式   

    貝努利不等式    

    契比雪夫不等式   

    柯西不等式

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