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塑性力學又稱塑性理論,是固體力學的一個分支,它主要研究固體受力后處於塑性變形狀態時,塑性變形與外力的關係,以及物體中的應力場、應變場以及有關規律,及其相應的數值分析方法。物體受到足夠大外力的作用后,它的一部或全部變形會超出彈性範圍而進入塑性狀態,外力卸除后,變形的一部分或全部並不消失,物體不能完全恢復到原有的形態。要注意的是塑性力學考慮的永久變形只與應力和應變的歷史有關,而不隨時間變化,永久變形與時間有關的部分屬於流變學研究的範疇。

1 塑性力學 -簡介

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塑性力學也稱塑性理論。主要研究物體在塑性變形階段的應力和變形的規律。當外力加大到一定程度使材料內部的應力超過某一極限值后,即使將外力除去,變形並不能完全消失,而是保留了一部分殘餘變形,這一性質就是材料的塑性。塑性變形的特點是不可逆性。

2 塑性力學 -發展簡史

塑性力學塑性力學研究的基本試驗:靜水壓實驗
H·特雷斯卡在1864年開始研究塑性條件。1913年,R.E.von米澤斯提出關於材料的屈服準則。1930年,建立了羅伊斯-普朗特流動理論,或稱增量理論。1937年A.L.納戴建立了大變形情況下的塑性理論。1943年A·A·伊柳辛提出了「小彈塑性形變理論」。1949年S·巴特多夫、B·伯迪安斯基提出滑移理論。在1950~1953年這一期間,D.C.德魯克(一譯杜拉格)提出了著名的德魯克公設,W.T.科伊特和W.普拉格提出了與特雷斯卡條件相關連的流動法則。

3 塑性力學 -內容

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人們對塑性變形基本規律的認識主要來自於實驗。從實驗中找出在應力超出彈性極限后材料的特性,將這些特性進行歸納並提出合理的假設和簡化模型,確定應力超過彈性極限后材料的本構關係,從而建立塑性力學的基本方程。解出這些方程,便可得到不同塑性狀態下物體內的應力和應變。

塑性力學研究的基本試驗有兩個。一是簡單拉伸實驗,另一是靜水壓實驗。從材料簡單拉伸的應力-應變曲線可以看出,塑性力學研究的應力與應變之間的關係是非線性的,它們的關係也不是單值對應的。而靜水壓可使材料可塑性增加,使原來處於脆性狀態的材料轉化為塑性材料。

為了便於計算,人們往往根據實驗結果建立一些假設。比如:材料是各向同性和連續的;材料的彈性性質不受影響;只考慮穩定材料;與時間因素無關等。在複雜應力狀態下,各應力分量成不同組合狀況的屈服條件,以及應力分量和應變分量之間的塑性本構關係是塑性力學的主要研究內容,也是分析塑性力學問題時依據的物理關係。屈服條件是判斷材料處於彈性階段還是處於塑性階段的根據。對金屬材料,最常用的屈服條件有最大剪應力屈服條件(又稱特雷斯卡條件)和彈性形變比能屈服條件(又稱米澤斯條件)。這兩個屈服條件數值接近,它們的數學表達式都不受靜水壓力的影響,而且基本符合實驗結果。

對於理想塑性模型,在經過塑性變形后,屈服條件不變。但如果材料具有強化性質,則屈服條件將隨塑性變形的發展而改變,改變后的屈服條件稱為後繼屈服條件或載入條件。反映塑性應力-應變關係的本構關係,一般應以增量形式給出,這是因為塑性力學中需要考慮變形的歷程,而增量形式可以反映出變形的歷程,反映塑性變形的本質。用增量形式表示塑性本構關係的理論稱為塑性增量理論。

4 塑性力學 -本構關係

塑性力學在金屬材料的塑性力學中,所考慮的材料有強化材料和理想塑性材料
塑性本構關係與彈性本構關係不同,其特點是:①應力和應變關係的非線性;②載入時和卸載時應力與應變關係是不同的;③應力不僅與對應的應力狀態有關,而且與整個載入過程有關。如當薄壁圓筒承受拉伸和扭轉的聯合作用時,在彈性階段不論是先拉后扭或是先扭后拉,所得到的最終變形是相同的。可是在塑性階段時,先拉伸到屈服而後扭轉或先扭轉到屈服而後拉伸,所得到的最終變形都不一樣。載入過程分為簡單載入和複雜載入。在載入過程中,各應力分量與某一參數成比例的增大,稱為簡單載入。不屬於簡單載入的是複雜載入。對於塑性階段的應力和應變關係有各種不同的理論。,工程上用得最多的,一是形變理論,或稱全量理論,以伊柳辛為代表,認為塑性應變偏量和應力偏量之間存在著某種非線性關係,僅適用於簡單載入的情況。另一是流動理論,又稱增量理論,以羅伊斯-普朗特為代表,認為塑性應變速度偏量(或塑性應變增量的偏量)與應力偏量之間存在著非線性關係,可適用於複雜載入的情況。

在金屬材料的塑性力學中,所考慮的材料有強化材料和理想塑性材料。材料強化的問題比較複雜,有各種強化模型,如單一應力-應變關係曲線的強化模型、等向強化模型、運動強化模型,更進一步的還有滑移理論的強化模型。,工程中的靜力問題大多採用單一應力-應變關係曲線的強化模型和等向強化模型。當鮑氏效應的影響不能忽略或往複載入時,需要採用運動強化模型。滑移理論的強化模型在理論上比較嚴密,但計算較為複雜。理想塑性材料的屈服條件通常採用特雷斯卡的最大剪應力條件和米澤斯的能量條件。這兩個條件的最大差別發生在純剪時,按這兩個條件計算出來的最大剪應力其數值差為15.4%。在簡單拉伸時兩者沒有差別,其平均差值為7.7%,但是它們所對應的應力狀態是不相同的。試驗資料表明,米澤斯屈服條件與試驗結果比較符合。

5 塑性力學 -問題及解法

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在塑性力學中已獲得精確解析解的問題並不多。其中比較典型的問題有厚壁圓筒、迴轉圓盤、空心球體、圓柱形柱的彈塑性扭轉、梁的彈塑性彎曲等。進行結構的彈塑性分析,首先碰到的困難是彈性區要用彈性階段的微分方程,塑性區要採用塑性階段的非線性微分方程,在彈塑性區共同的邊界上,要滿足連續性條件是一個數學上較為困難的問題。更為困難的是塑性區的形狀事先無法知道。因此,解這一類彈塑性區共存的問題,多數是採用數值計算方法。隨著電子計算技術的發展,有可能按增量理論一步一步地進行數值計算,以求得各瞬段的變形和應力分佈,從而了解變形的全過程。

除了這種對全過程進行增量分析外,工程上更感興趣的另一種問題是:只需要知道荷載到達怎樣的數值,結構就開始發生無限止的塑性流動而喪失承載能力,其相應的荷載稱為極限荷載。為了計算結構的極限荷載,塑性力學中有上、下限定理,可以求得結構極限荷載的上、下限,從而可以估算出極限荷載的數值。在計算極限荷載時,假定材料是理想塑性材料並採用剛塑性體計算方案,這就是忽略彈性變形,將尚未屈服的彈性區假設為剛性區進行計算。在梁的極限荷載計算中要用到塑性鉸的概念,在求解板的極限荷載時,要應用塑性鉸線的概念。柱形桿的極限荷載和平面形變問題的極限荷載問題均已獲得解決。不過要指出,柱形桿扭轉的極限扭矩可通過沙堆比擬和數值計算獲得較為精確的結果,因為當柱形桿扭轉時結構可以全部屈服,不存在剛性區。但對平面形變問題來說,結構不能全部屈服,存在有剛性區,多數問題只能求得極限荷載的上限。

因為求上限時只需要假設一個運動可能的速度場,因而極限荷載的上限比較容易得到。要求得到極限荷載的下限,必須假設一個靜力可能的場,使得剛性區的應力場尚未達到屈服條件。這往往難於檢驗,因為剛性區的應力場是不確定的。因此,求極限荷載的下限比求上限困難。在求解平面形變問題時,所遇到的擬線性偏微分方程是雙曲線型,有兩族實特徵線,於是採用特徵線方法求解。可是對於平面應力問題來說,所遇到的偏微分方程可以是雙曲線型,也可以是拋物線型或橢圓型。這與彈性理論不同,塑性的平面應力問題要比塑性平面形變問題複雜得多。

除了上述問題以外,還有結構的彈塑性穩定問題、結構的安定性問題和動塑性問題,均逐漸引起注意。動塑性問題是在抗震抗爆結構的設計中必須加以考慮的。從第二次世界大戰以來有不少的發展,如結構的塑性動力響應,其中包括剛塑性動力分析和彈塑性動力分析。塑性波的傳播是動塑性中的一個重要問題。,解決得較為成熟的是一維塑性波;但也碰到雙曲線型的擬線性偏微分方程,也可採用特徵線解法。在動塑性分析中必須考慮應變率的影響,應變不僅與載入的過程有關,而且也與時間有關。在動塑性的研究中,變分和極值原理也是一個重要方面。塑性動力變分和極值原理也得到迅速發展。

6 塑性力學 -常用的求解方法

1 靜定法

 求解簡單彈塑性問題的方法。由於所求的各未知量的數目和已知方程式的數目相同,應用平衡方程和屈服條件便能將問題中的各未知量找出。

2 滑移線法

 適用於求解塑性平面應變問題,可找出變形體中各點的應力分量和所對應的位移分量

3 界限法

 一個有實用價值的方法,又稱上、下限法。上限法採用外力功等於內部耗散能以及結構的幾何條件求塑性極限載荷,其值比完全解的塑性極限載荷大;下限法則用平衡條件、屈服條件以及力的邊界條件求塑性極限載荷,其值比完全解的塑性極限載荷小

4 主應力法

 在屈服條件中不考慮剪應力的貢獻,並假定沿某一個軸主應力的分佈是均勻的。用此法能獲得各應力分量的分佈規律。

5 參數方程法

 使用米澤斯屈服條件時,可將滿足屈服條件的參數方程代入平衡方程進行求解。

6 加權殘量法

 一種求解微分方程近似解的數學方法。其要點是:先假設一個試函數作為近似解,將其代入要求解的控制方程和邊界條件;該函數一般不能完全滿足這些條件,因而出現誤差即殘量;選擇一定的權函數與殘量相乘,列出在解域內消滅殘量的代數方程,就可把求解微分方程轉化為求解代數方程的數值計算問題,從而得出近似解。

7 有限元法

 常用的有彈塑性有限元和剛塑性有限元法,可得到變形體內的應力和應變分佈規律。

7 塑性力學 -主要應用

 ①結構的塑性極限分析和安定分析,對梁、桁架、剛架、拱、排架、圓板、矩形極、柱殼、球殼、錐殼、組合殼等都已獲得完全解。   

②構件的塑性極限分析和安定分析,已求出各種帶有缺口、槽、孔的受拉、受彎、受扭軸和構件的塑性極限載荷。   

③金屬板料成形,包括深沖、翻邊、擴口、縮口等工藝。   

④金屬塊體成形,包括鐓粗、拉拔、擠壓、鍛造等工藝。   

⑤金屬軋制,金屬材料在兩個反向旋轉的軋輥間通過,併產生塑性變形。   

⑥塑性動力響應和塑性波,在防護工程、地震工程、穿甲和侵徹,高速成形,超高速撞擊、爆炸工程等方面都有重要應用。   

⑦自緊技術,通過使結構產生有益的殘餘應力,以增強厚壁圓筒彈性強度和延長疲勞壽命。   

⑧在岩土力學中,用以研究地基承載能力、邊坡穩定性、擋土牆的作用和煤柱的承載能力。   

⑨用以研究估算和消除殘餘應力的方法。   

由於傳統的塑性力學只適用與金屬塑性範圍,特別是硬金屬,當應用於岩石,土壤和混凝土等材料時,往往需要對其一些基本概念作修正,既有了廣義塑性力學的發展。廣義塑性力學放棄了這些假設,採用了分量理論,由固體力學原理直接導出塑性公式,它既適用於岩土材料,也適用於金屬。   

上面主要介紹的是從宏觀角度,以實驗為基礎唯象的研究塑性變形。在細觀尺度,已經建立細觀力學,其主要研究目的是從材料物理理論(位錯、晶體範性、界面等)出發,建立細觀結構與力學性質之間的定量關係。細觀力學對經典連續介質力學理論框架加以改造,引入表徵材料細觀結構的損傷的物理或幾何量,確定其演化方程。同時發展由細觀向宏觀過度的均勻化方法,建立細觀結構、內部缺陷與宏觀力學性能之間的定量關係。從而在細觀尺度上形成一套新的理論框架。細觀力學中與塑性變形相關的部分稱塑性細觀力學。相對傳統塑性力學的小變形分析,有關塑性大變形的分析李國琛和M.耶納著《塑性大應變微結構力學》

8 塑性力學 -發展簡史

 塑性力學作為固體力學的一個重要分支,其發展的歷史雖然可以遲朔到上個世紀的70年代,但真得到充分發展並日臻成熟的是在本世紀的40年代和50年代初。特別是理想塑性理論,這時已達到成熟並開始在工程實踐中得到應用的階段。 塑性變形現象發現較早,然而對它進行力學研究,是從1773年庫侖Coulomb土壤壓力理論,提出土的屈服條件開始的。H.Tresca於1864年對金屬材料提出了最大剪應力屈服條件。隨後聖維南於1870年提出在平面情況下理想剛塑性的應力-應變關係,他假設最大剪應力方向和最大剪應變率方向一致,並解出柱體中發生部分塑性變形的扭轉和彎曲問題以及厚壁筒受內壓的問題。Levy於1871年將塑性應力-應變關係推廣到三維情況。1900年格斯特通過薄管的聯合拉伸和內壓試驗,初步證實最大剪應力屈服條件。   

此後20年內進行了許多類似實驗,提出多種屈服條件,其中最有意義的是Mises於1913年從數學簡化的要求出發提出的屈服條件(后稱米澤斯條件)。米澤斯還獨立地提出和Levy一致的塑性應力-應變關係(后稱為Levy-Mises本構關係)。泰勒於1913年,Lode於1926年為探索應力-應變關係所作的實驗都證明,萊維-米澤斯本構關係是真實情況的一級近似。   為更好地擬合實驗結果,羅伊斯於1930年在普朗特的啟示下,提出包括彈性應變部分的三維塑性應力-應變關係。至此,塑性增量理論初步建立。但當時增量理論用在解具體問題方面還有不少困難。早在1924年亨奇就提出了塑性全量理論,由於便於應用,曾被納戴等人,特別是伊柳辛等蘇聯學者用來解決大量實際問題。 雖然塑性全量理論在理論上不適用於複雜的應力變化歷程,但是計算結果卻與板的失穩實驗結果很接近。為此在1950年前後展開了塑性增量理論和塑性全量理論的辯論,促使從更根本的理論基礎上對兩種理論進行探討。另外,在強化規律的研究方面,除等向強化模型外,普拉格又提出隨動強化等模型。電子計算機的發展,為塑性力學的研究和應用開展了廣闊的前景,特別是促進了有限單元法的應用。1960年,Argyris提出初始荷載法可作為有限單元發解彈塑性問題的基礎。自此理想塑性的塑性力學已經達到定型的階段,而具有加工硬化的塑性力學至今仍是在發展中研究課題。   20世紀60年代以後,有限元法的發展,提供恰當的本構關係已成為解決問題的關鍵。所以70年代關於塑性本構關係的研究十分活躍,主要從宏觀與微觀的結合,從不可逆過程熱力學以及從理性力學等方面進行研究。   

在實驗分析方面,也開始運用光塑性法、雲紋法、散斑干涉法等能測量大變形的手段。另外,由於出現岩石類材料的塑性力學問題,所以塑性體積應變以及材料的各向異性、非均勻性、彈塑性耦合、應變弱化的非穩定材料等問題正在研究之中。

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