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增廣矩陣就是在係數矩陣的右邊添上一列,這一列是線性方程組的等號右邊的值。 如:方程AX=b 係數矩陣為A,它的增廣矩陣為(A b)。
增廣矩陣通常用於判斷矩陣的有解的情況,比如說
秩(A)<秩(A b) 方程組無解;
r(A)=r(A B)=n,方程組有唯一解;
r(A)=r(A B)<n,方程組無窮解;
r(A)>r(A B)不可能,因為增廣矩陣的秩大於等於係數矩陣的秩。
對於方程組(1): 
a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1(1)
a21 x1+a12 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2(2)
……………………
ai1 x1+ai2 x2+ai3 x3+ … +ain xn=bi(i)
……………………
am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm(m)
係數矩陣為:
[ a11 a12 a13 …a1n ]
[ a21 a22 a23 …a2n ]
[ …………………… ]
[ ai1 ai2 ai3 … ain ]
[ …………………… ]
[am1 am2 am3…amn]
增廣矩陣為:
[ a11 a12 a13 …a1n b1 ]
[ a21 a22 a23 …a2n b2 ]
[ ……………………… ]
[ ai1 ai2 ai3 … ain bi ]
[ ……………………… ]
[am1 am2 am3…amn bm]
【補充】上面說的只是在解線性方程組的時候,對係數矩陣進行的一個增廣矩陣,切勿以為增廣矩陣只是右端添加一列,其實是在原矩陣的右端添加一個矩陣,而線性方程組的右端恰好是一個列數為1的矩陣。
如給定一個三階矩陣A,設為
1 2 3
4 5 6
7 8 9
則(A,E)為
1 2 3 1 0 0
4 5 6 0 1 0
7 8 9 0 0 1
在同濟版線代課本64頁上的例題可以找到佐證。
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