標籤: 暫無標籤

外微分形式,又稱微分形式,是微分流形上定義的反對稱協變張量場。

1 外微分形式 -外微分形式

 

2 外微分形式 -正文

  又稱微分形式,是微分流形上定義的反對稱協變張量場。為了在流形上引進積分理論,必須推廣「被積函數」的概念。例如,平面上沿曲線C的曲線積分

外微分形式

可理解為一個一次外微分形式pdx+QdyC上的積分。類似地,空間的曲面積分和體積分可理解為二次和三次外微分形式的積分。
  外微分形式理論與方法是研究近代微分幾何的重要工具,它在數學的其他分支以及物理、力學中也有廣泛的應用。
  數學定義  設M是微分流形,T*M是它的餘切叢,作它的p次反對稱張量積叢∧pT*M,那麼,該叢的一個截面稱為p次外微分形式(簡稱p形式)。設xM上任意一點,在它近旁引進局部坐標系(x1,x2,…,xn),那麼,在x點的餘切空間TM中可取基dx1,dx2,…,dxn。對任何外微分形式外微分形式所張成的線性空間就是∧pTM,在外微分形式中對換一個次序就改變一次符號。這樣,p形式ω在局部坐標系下可表示為

外微分形式

式中外微分形式p階反對稱張量場。如果在此式中外微分形式不是反對稱的,或者i1,i2,…,ip不依大小次序排列,仍然可以利用外微分形式的反對稱性而把它改寫成為標準形式。
  一般地,設EM上的向量叢,那麼∧pT*ME作張量積叢∧pT*ME,它的任一截面稱為取值於E的向量值微分形式。
  外微分形式的運算  任一p形式,它在流形上每點作為餘切空間反對稱張量積空間的元素自然可引進向量空間的運算,由此得到p形式的加法運算以及p形式與函數的相乘運算,其結果仍是p形式。此外還可引進下列的外積運算:設

外微分形式

分別是p形式與q形式。那麼ωσ為(p+q)形式,定義為

外微分形式

這樣,對所有r形式(r=1,2,…,n)作它們的直和,記為∧T*M,它在流形M上的每一點x構成外代數(格拉斯曼代數)。
  在∧T*M上還存在外微分運算元外微分形式,外微分形式它是滿足下列性質的惟一運算元:
  ①外微分形式
  ② 若ω1r形式

外微分形式

  ③ 若ƒ是函數,在局部坐標下有

外微分形式

  ④d(dƒ)=0。設

外微分形式

那麼dω有如下表達式

外微分形式

  特殊微分形式  設ω是任一微分形式,如果dω=0,那麼ω稱為閉形式。對ω,如果存在σ,使ω=dσ,那麼ω稱為正合形式。一次微分形式也稱為普法夫形式。
  普法夫方程  設有r個普法夫形式外微分形式那麼方程組

外微分形式

稱為普法夫方程組。
  如果一個由r個獨立的普法夫形式ωα產生的普法夫方程組具有r個獨立初積分,則稱為完全可積普法夫方程組。弗羅貝尼烏斯定理表明普法夫方程組ωα=0是完全可積的充要條件為存在1形式ω外微分形式(α,β = 1, 2,…, r),使外微分形式
  積分理論  為在微分流形M上定義積分,還要推廣「積分區域」的概念。在歐氏空間中有單形的概念,p維單形是不在同一p維平面上的p+1個有序點Q0,Q1,…,Qp的閉凸包,即由

外微分形式

張成的點集。對p維單形Δp的某鄰域U,若有可微映射φUM,那麼φp)稱為流形M上的可微分奇異單形。有限個p維單形的常係數形式和C稱為p維鏈。對任一p維鏈C,它的邊界дC是一個p-1維鏈。這樣,可以利用高維歐氏空間中的普通重積分來定義任何p形式ωp維鏈C上的積分外微分形式。如果ω是微分流形M上的p形式,CM上的(p+1)維鏈,那麼斯托克斯定理給出

外微分形式

據此可建立德·拉姆的上同調理論(見微分流形)。
  參考書目
 H.Flanders,Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press,New York, 1963.
 S.Sternberg,Lectures on Differential Geometry,Prentice-Hall, Englewood Clliffs, N. J. 1964.

 

3 外微分形式 -配圖

 

4 外微分形式 -相關連接

上一篇[狄利克雷積分]    下一篇 [光軸角]

相關評論

同義詞:暫無同義詞