1概述

多值函數定義。   設X是一個非空數集,Y是非空數集 ,f是個對應法則 , 若對X中的每個x,按對應法則f,使Y中至少存在一個元素y與之對應 , 就稱對應法則f是X上的一個多值函數,記作y=f(x)。
若對定義域每一個自變數x,其對應的函數值f(x)是唯一的,則稱f(x)是單值函數。關鍵詞「每一個」,「唯一的」。
中學數學凡涉及的函數,都是單值函數。
大學非數學專業的公共課程——數學,一般說函數,都是指這種單值函數。有特別註明的除外。
大學數學專業另當別論。
上述兩種(中數和大非數)情況,在函數的定義時就闡述得很清楚。
單值函數定義(摘自《百度百科》)。設X是一個非空數集,Y是非空數集 ,f是個對應法則 , 若對X中的每個x,按對應法則f,使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 , 就稱對應法則f是X上的一個函數,記作y=f(x)。
習慣上也說y是x的函數。
這兩個定義的區別可抓關鍵詞的變化,「唯一的」變為「至少一個」。
單值函數是多值函數的特例。

2舉例

多值函數的例子:①若│f(x)│=2x-1,則f(x)=±(2x-1).一個自變數x對應兩個函數值.②y=sinx (x∈R)在R上的反函數(注:在單值函數里,是"在[-π/2,π/2]上)為(多值函數)y=Arcsinx.一個自變數x對應無數個函數值.
多值函數從輸入值集合X到可能的輸出值集合Y的函數f (記作f:X→Y) 是X與Y的關係,滿足如下條件:
對X中任一元素x都有集合Y中的元素y滿足x與y是f相關的。即,對每一個輸入值,Y中都有至少一個與之對應的輸出值。

3相關問題

1、函數是指實數集對實數集的映射,而從映射的角度出發是定義域中的每個元素只能有一個像。多值函數的一個X可以有兩個Y與之對應,這是否與函數的定義相違背?
如果定義函數是映射的一種,那麼從映射的定義上來看,多值函數不是函數。如果定義函數是一種對應法則(許多課本亦如此定義),那麼毫無疑問,多值函數是函數的一類。
所以多值函數是不是函數取決於對於函數的定義。但是多值函數往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數,這樣得到的單值函數也稱為多值函數的單值分支。所以在實際應用上,多值函數和函數的概念並不會造成困擾。
你認為的矛盾是已經從某種意義上把多值函數歸為函數範疇了,如果你把術語函數換成對應來就好理解,對應和多值對應從字面意思就能看出他們所指並不一樣,所以並不存在矛不矛盾的話題。就相當於解釋什麼是『維』『一維』『二維』『多維』一樣。
2、多值函數是不是函數?
問題出在函數的定義里,在早些年出版的教材里,函數的定義里沒有「唯一」兩個字,因此函數就有單值函數與多值函數的區分,按那種定義,多值函數是函數;出版的教材里,函數的定義里有「唯一」兩字,因此函數都是單值的,從這個意義上說,多值函數就不是函數了。
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